【原】矩陣，到底有什么用？

大家好，我是科學羊??，這里是數學專欄第3季第11篇。

今天我們來談談矩陣！

在高等數學的宏大世界里，微積分和線性代數猶如基礎的磚石，鋪就了理解復雜數學概念的道路。

對于廣大非理工科的學子而言，這兩門課程往往是大學數學學習的全部，這也是考研數學的必須課程！

微積分不僅是一門課程，它更是一種鍛煉邏輯思維的方式，而線性代數的應用范圍如此廣泛，以至于工作和日常生活中處處可見其身影。

我們此前已經涉足了線性代數的領域，雖然并未明言。實際上，我們討論的向量代數正是線性代數中最基礎也是最為關鍵的組成部分。

矩陣，作為線性代數中使用頻率最高的概念，其實質和用途引人入勝。

什么是矩陣？

矩陣是一個按照行和列排列的矩形陣列，其中的每一個元素都可以通過其行號和列號唯一確定。數學上，一個m*n的矩陣表示為：

簡單來說，矩陣就是數字的有序排列，通過行和列的方式進行組織，每行和每列的數字數量保持一致。

比如一個3x4的矩陣，意味著它擁有3行4列。

矩陣之所以存在，并非無緣無故，而是向量概念的自然擴展。

也就是將多個向量放在一起，顯然最直觀的方式，就是把它們一行行排起來，這形成了一個有M行N列的矩陣。這就是矩陣的由來。

以招聘為例，一個公司將各種考核指標綜合為N個維度，每個崗位的能力要求便形成了一個N維向量。隨著不同部門、不同崗位的向量匯聚，最直觀的表示方法便是將這些向量按行排列，形成一個M行N列的矩陣，揭示了矩陣的由來。

矩陣的歷史比較晚近，直到1850年才由英國數學家西爾維斯特（James Joseph Sylvester）正式命名。

盡管有觀點認為早在古代中國、日本、意大利和阿拉伯等地就有矩陣的原型，但這些與今天我們所用的數學矩陣概念相去甚遠。

真正的矩陣概念包含了特定的含義賦予以及一套完備的計算方法，這使得矩陣成為了解決問題的強大工具。

矩陣的加法和乘法是其兩種基本運算。

通過矩陣加法，我們可以將一般性要求與針對特定情境的調整結合起來，體現在具體國家的員工要求上。

比如有個矩陣：

那么，當我們進行A+B時，只要把兩個矩陣中相應位置的元素逐一相加即可，也就是說矩陣A加矩陣B，會得到下面的結果

而矩陣乘法的應用更為廣泛，尤其在金融領域，它能夠幫助投資者根據不同的投資偏好和風險承受能力計算潛在的回報。（這部分我們明天重點下一節在機器人中再講）

我們將向量和矩陣的乘法作為例子，展示了如何通過這種運算方式處理實際問題，例如確定投資的最優選擇。這種運算不僅僅是簡單的算術操作，而是一種批量處理問題的方法，特別適合處理高維度數據。

矩陣運算的引入，不僅僅是數學領域的一大進步，它更是一種全新的思考方式，將單個計算轉變為大批量處理，這一思維方式對今天信息時代至關重要。

最后，我們探討了線性代數之所以稱之為“線性”的原因，即其運算和表達都與線性方程組緊密相關，揭示了直線、平面及其它線性形態的本質。

雖然自然界中的許多問題并非嚴格的線性，但將其近似為線性問題，可以讓我們利用線性代數的工具來尋求解決方案。

通過這一系列的探討，我們不僅加深了對微積分和線性代數的理解，也為即將介紹的微積分主題打下了堅實的基礎，展現了數學之美，以及它在現實世界中無限的應用潛力。

那么矩陣到底有什么用？

矩陣，這一簡潔而強大的數學工具，廣泛應用于各個領域，從純數學研究到實際的工程問題解決，都離不開矩陣的支持。

其用途可以概括為以下幾個方面：

1. 線性方程組的求解

矩陣是解決線性方程組問題的一種有效工具。通過將線性方程組表示為矩陣形式，可以使用矩陣運算（如矩陣求逆或行列式計算）來找到方程組的解。

這在數學、物理學及工程學等領域的問題求解中至關重要。

2. 線性變換與圖形處理

在計算機圖形學中，矩陣被用來表示和執行圖形的線性變換，包括旋轉、縮放、平移等操作。

通過對矩陣進行運算，可以高效地對圖像進行變換，這在視頻游戲開發、動畫制作、CAD（計算機輔助設計）等領域中有著廣泛應用。

3. 經濟學中的輸入輸出分析

如前所述，矩陣在經濟學中的輸入輸出分析中扮演著重要角色。通過構建經濟活動的矩陣模型，經濟學家可以分析各個產業之間的相互依賴關系，預測經濟政策變化對產業的影響。

4. 量子力學與統計學

在量子力學中，矩陣用于描述物理系統的狀態和演化。矩陣力學是量子力學的一個基本框架。

同時，在統計學中，矩陣運算用于處理和分析大量數據，如協方差矩陣分析、主成分分析（PCA）等，對于數據降維、特征提取等任務至關重要。

5. 機器學習與數據科學

在機器學習和數據科學領域，矩陣用于表示和處理數據集，支持如線性回歸、邏輯回歸、神經網絡等算法的實現。矩陣運算優化了這些算法的計算過程，使得處理大規模數據集成為可能。

6. 控制理論

在自動控制領域，矩陣用于設計和分析控制系統。系統的動態行為可以用狀態空間模型來描述，該模型本質上是一組線性微分方程，可以通過矩陣形式表示和求解。

矩陣的應用遍及科學研究、工程技術、經濟管理等各個領域，它不僅是一種處理數學問題的強大工具，也是連接理論與實踐、簡化和優化解決方案的橋梁。

通過矩陣，我們能更加深入地理解復雜系統的本質，更加高效地處理和分析大規模數據。

最后，

不得不說，矩陣有用最多的就是我們行業了，因為我所處的機器人行業，機器人運動學就是建立在矩陣的基礎上。

很多人問我，矩陣在機器人學到底有什么用，實際矩陣之所以有用，是因為它可以直觀去表示機器人所處笛卡爾坐標系下位置和姿態（角度）。

我們知道機械手負責搬運就是需要知道被搬運物體的空間位置和角度，所以翻譯在機器人這里就表示機器人的位置矩陣和姿態旋轉矩陣。所以矩陣在工程行業是一個很重要的數學基礎！

同樣，游戲開發也會用到矩陣，一個角色的姿態和位置，也是通過矩陣去表示。

這部分我們下一節詳談！

好，今天就先這樣啦！

科學羊??  2024/03/06

祝幸福~

PS：