【原】曼哈頓距離：“雙絕對(duì)值函數(shù)”的最值問題

任何一個(gè)新概念的產(chǎn)生，都是為了解決一個(gè)舊的問題。

那么，什么是曼哈頓距離呢？

它又是為了解決什么樣的數(shù)學(xué)問題而產(chǎn)生的呢？

問題1：你知道怎么求函數(shù)的最小值嗎？

其實(shí)，在中學(xué)數(shù)學(xué)里，這個(gè)問題的解決，還是很簡(jiǎn)單的。

首先，我們可以從絕對(duì)值的幾何意義著手。

當(dāng)然，也可以從函數(shù)圖像的角度著手。

應(yīng)該說，從這兩個(gè)角度思考，都是可以很容易地求出最小值的。

但是，畢竟這個(gè)題，還是太簡(jiǎn)單了。

如果稍微地修改一下，比如下面這個(gè)樣子。

問題2：求的最小值。

顯然，第一種思路，就會(huì)稍微勉強(qiáng)了一點(diǎn)。

至少，相信有相當(dāng)一部分同學(xué)，在數(shù)軸上理解，是不再直觀的。

第二種做圖，因?yàn)樯婕暗椒诸愑懻摚?/span>也是很多同學(xué)所不喜歡的。

甚至，有同學(xué)到高三了，這種圖象都做的不夠流暢。

這樣，也就有了曼哈頓距離。

那么，什么是曼哈頓距離呢？

一個(gè)城市街區(qū)，要從A地到B地，應(yīng)該有很多種路線吧。

最不講套路的，是黃色路線。

它所走的路程是最短距離，稱為歐幾里德距離，簡(jiǎn)稱歐氏距離。

根據(jù)我們所掌握的知識(shí)，歐氏距離其實(shí)就是兩點(diǎn)間的直線距離，也是最短距離。

但很多時(shí)候，這種距離是理想化的。

因?yàn)椴灰欢ň湍苓_(dá)到。

其它，都是按街道行走的路線。

紅色路線所走的路程就是曼哈頓距離。而藍(lán)色和黑色路線所走的路程，和曼哈頓距離都是一樣的，稱為等價(jià)曼哈頓距離。

所以，所謂的曼哈頓距離，就是兩點(diǎn)在南北方向上的距離加上在東西方向上的距離。

曼哈頓距離和等價(jià)曼哈頓距離，都是在街道上跑了相同的位移。

只是，曼哈頓距離更直接，所以更特殊。

因?yàn)槭前唇值酪?guī)范行走，曼哈頓距離?，又被形象地稱為計(jì)程車幾何。

其實(shí)，從數(shù)學(xué)的角度，更直觀一點(diǎn)看，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，兩點(diǎn)間的曼哈頓距離就是

有了這個(gè)定義，像我們平時(shí)所見的

其實(shí)就有了它的另一個(gè)意義——曼哈頓距離。

我們可以將，改寫成定義的樣子：

, 

再構(gòu)造兩個(gè)點(diǎn)，

這個(gè)方程就有了實(shí)際意義。

其實(shí)說的是，兩點(diǎn)的曼哈頓距離就是2了。

都知道的圖象，是一個(gè)正方形。

所以，這個(gè)正方形邊上任意一點(diǎn)，和正方形中心的曼哈頓距離都是相等的。

這個(gè)特征，被稱作曼哈頓距離的等矩性。

而且，可以輕易驗(yàn)證，這里的曼哈頓距離，其實(shí)就是正方形對(duì)角線的一半。

就像是，

現(xiàn)在就可以這樣理解：

點(diǎn)之間的曼哈頓距離為2.

以后可以寫成這樣：

反過來，你也可以這樣說：

到點(diǎn)(1,1)的曼哈頓距離為2的點(diǎn)的軌跡，是如圖所示的正方形。

這么好的正方形，為了后面說起來方便，我們不妨?xí)簳r(shí)稱之為曼哈頓正方形吧。

而且，有了這個(gè)正方形，我們就可以以另一種別出心裁的視角，去處理雙絕對(duì)值的距離問題。

當(dāng)然，這個(gè)結(jié)果的正確性，也是可以通過函數(shù)的圖象，直觀驗(yàn)證的。

你看，這個(gè)曼哈頓距離用起來，是不是感覺就很暢快！

分析：求曼哈頓距離時(shí)，要求曼哈頓正方形與曲線應(yīng)該有交點(diǎn)。

如果要求曼哈頓距離的最大值最小，則要求曼哈頓正方形不僅要框住整個(gè)曲線，而且要求不能浪費(fèi)空間。

由圖可知，只有當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A在y軸上時(shí)，曼哈頓距離的最大值才可能最小。

而且，不僅曲線端點(diǎn)在曼哈頓正方形邊上，同時(shí)，曲線與曼哈頓正方形一定還要相切的。

是不是給人一種很緊促的感覺。

這樣才能保證曼哈頓正方形，恰好包圍了整個(gè)曲線。

分析：對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)，曼哈頓正方形變大到與橢圓相切時(shí)，曼哈頓距離最大。 

分析：如上圖，在直線上任取一點(diǎn)，做曼哈頓正方形。過左頂點(diǎn)作直線的平行線，當(dāng)正方形擴(kuò)大到平行線與圓第一次相切時(shí)，平行線方程為.

根據(jù)曼哈頓距離的等矩性，無論A在直線上的任何位置，曼哈頓距離均為定值。

因此，曼哈頓距離的最小值即為|AH|。

因?yàn)閮善叫芯€與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(3,0)和，則

曼哈頓距離，一個(gè)高端，且讓人有點(diǎn)望而卻步的東西。

但其本質(zhì)，是樸素而簡(jiǎn)潔的。

其實(shí)，很多的數(shù)學(xué)原理，都不用在意它的出處有多神秘。

只要我們自己，能站在合適的角度，去理解并接受就可以。

例子無需太多，只用最樸素的語言，說清最高深的道理。