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1 我們從一個小故事來說起。 稍微有點幾何常識的人都知道，三角形的內(nèi)角和為180°，但是數(shù)學(xué)大師陳省身卻說這是不對的。要知道，陳省身是繼歐拉、高斯、黎曼、嘉當(dāng)之后最偉大的幾何學(xué)家，被國際數(shù)學(xué)界譽為整體微分幾何之父。陳先生敢這樣說，自然有他的道理。 事實上，陳先生說“三角形內(nèi)角和為180°”不對，不是指這個結(jié)論不對，而是說這種看問題的角度不對，沒有觸及到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。陳先生說： 正確的說法應(yīng)該是三角形的外角和等于360°，這才是更本質(zhì)的結(jié)論。 如果我們把目光聚焦于內(nèi)角，通過一些對角線把多邊形剖分為若干個三角形，你會進(jìn)一步得到： 四邊形內(nèi)角和為360°，五邊形內(nèi)角和為540°，……，n邊形內(nèi)角和為 (n-2)×180°。
這就找到了一個計算n邊形內(nèi)角和的公式，并且這個公式與多邊形的邊數(shù)相關(guān)。 多邊形的一條邊與另一條邊的延長線組成的角，叫做多邊形的外角。如果我們把目光聚焦于外角，會進(jìn)一步得到： 四邊形外角和為360°，五邊形外角和為360°，……，n邊形外角和為360°。
這就把不同的情形用一個相同的常數(shù)統(tǒng)一起來了，用一個與n無關(guān)的常數(shù)代替了與n有關(guān)的公式，找到了更本質(zhì)的現(xiàn)象。 2 那我們怎么來理解“多邊形外角和為360°”這個結(jié)論呢？ 假設(shè)一個人沿著多邊形的邊界行走（如下圖）。每經(jīng)過一個頂點，他都要轉(zhuǎn)一次彎，轉(zhuǎn)彎的角度恰好是這個頂點處的外角。走了一圈，回到出發(fā)的地方，方向和出發(fā)時一致了，角度改變量之和恰好是一圈360°。  注：以上內(nèi)容見張景中院士《數(shù)學(xué)家的眼光》。 再看一種更天馬行空的理解方式：讓這個多邊形等比例縮小，在這個過程中它的外角和不會變。最后縮小到無限趨近于一個點，那它的外角和當(dāng)然就是轉(zhuǎn)一圈360°了。 （當(dāng)然，上面的理解不能算作嚴(yán)格證明。事實上，這個結(jié)論一般化的嚴(yán)格證明需要用到Gauss-Bonnet（高斯-博內(nèi)）定理。也正是陳省身在1944年首先給出了這個定理一般化的內(nèi)蘊證明，也就是本質(zhì)的證明，所以陳先生看這個問題才如此深刻。） 3 學(xué)透數(shù)學(xué)本質(zhì)，做題就行云流水了，比如下面這個問題： 一個凸2024邊形的內(nèi)角中至多有幾個銳角？ 這個問題如果直接從內(nèi)角去考慮，要花一番功夫。但如果用外角去考慮，就會簡單很多。 我們知道多邊形每一個頂點處的內(nèi)角加外角是180°，所以內(nèi)角有幾個銳角，等價于外角有幾個鈍角。而多邊形外角和是360°，如果有4個外角是鈍角的話，外角和將超過360°。所以外角至多有3個鈍角，從而內(nèi)角中至多有3個銳角。 4 最后，這個結(jié)論闡明的是多邊形的整體性質(zhì)。對于多邊形的任意一條邊、一個角都沒有意義，只有把多邊形作為一個整體考慮，才有這個結(jié)論，這就是我們常說的數(shù)學(xué)中的整體思想。 （如果我們接受外角帶方向的話，這個結(jié)論對凹多邊形也是成立的。但如果要求外角都是正的，則正文中的多邊形都要理解為凸多邊形。這個問題本文就不詳細(xì)展開了。）  |
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