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融化的冰塊、蔓延的野火以及股市崩盤，這三者有什么共同點(diǎn)？ 它們看似隨機(jī)、混亂、不可預(yù)測(cè)。但在這種混沌之下，隱藏的數(shù)學(xué)規(guī)律卻主宰著一切。而有一位數(shù)學(xué)家——雨果·迪穆尼爾-科潘（Hugo Duminil-Copin），將自己的一生都奉獻(xiàn)在揭示這些規(guī)律上。他在概率論與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)上的突破，幫助我們理解相變——也就是一個(gè)系統(tǒng)突然改變狀態(tài)的那些瞬間。 想象水的凝結(jié)、磁體翻轉(zhuǎn)磁極，甚至是疾病的傳播。  這篇文章分四個(gè)部分，探索 2022 年菲爾茲獎(jiǎng)得主們的非凡成就——這些數(shù)學(xué)家革新了各自的研究領(lǐng)域。而今天，我們從雨果·迪穆尼爾-科潘開始，他揭示了隨機(jī)性與相變背后的隱藏?cái)?shù)學(xué)。 菲爾茲獎(jiǎng)常被稱為“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)”，但它有自己獨(dú)特的聲望。設(shè)立于 1936 年，這一獎(jiǎng)項(xiàng)每四年頒發(fā)一次，授予 40 歲以下的杰出數(shù)學(xué)家，以表彰他們對(duì)數(shù)學(xué)的卓越貢獻(xiàn)。該獎(jiǎng)由國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟頒發(fā)，并在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上頒授。 一些最偉大的數(shù)學(xué)頭腦都曾獲得過菲爾茲獎(jiǎng)，包括陶哲軒、瑪麗安·米爾扎哈尼以及格里戈里·佩雷爾曼——這些人物的工作深刻地塑造了現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想。菲爾茲獎(jiǎng)不僅是對(duì)開創(chuàng)性研究的榮譽(yù)，也為新一代數(shù)學(xué)家提供了靈感。 贏得菲爾茲獎(jiǎng)絕非易事。它意味著獲獎(jiǎng)?wù)呓鉀Q了或顯著推進(jìn)了我們這個(gè)時(shí)代最復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題之一。而在 2022 年，雨果·迪穆尼爾-科潘便是其中之一。他在概率論與相變上的革命性成果，正是這個(gè)部分的核心。 那么，一個(gè)來自法國(guó)、熱衷手球的少年，是如何一路走到贏得菲爾茲獎(jiǎng)的呢？而他的工作為什么與幾乎“一切”都息息相關(guān)？ 在混沌中尋找秩序雨果·迪穆尼爾-科潘出生于 1985 年，地點(diǎn)是巴黎郊區(qū)的沙特奈-馬拉布里。與許多菲爾茲獎(jiǎng)得主不同，他并不是一個(gè)神童。事實(shí)上，他最初的夢(mèng)想是成為一名職業(yè)手球運(yùn)動(dòng)員。他的父親是一名體育教師，母親是一位舞者出身、后來轉(zhuǎn)行做教師，他們鼓勵(lì)他去探索各種事物——體育、音樂、科學(xué)，這些都構(gòu)成了他成長(zhǎng)的背景。  直到進(jìn)入高中，數(shù)學(xué)才徹底吸引了他的注意。即便如此，他在班級(jí)中也并非頂尖。當(dāng)他嘗試入選國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克時(shí)，失敗了。但他在速度上的不足，被毅力與創(chuàng)造力所彌補(bǔ)。他對(duì)模式與結(jié)構(gòu)的迷戀，最終引領(lǐng)他進(jìn)入了著名的巴黎高等師范學(xué)院。 在那里，他最初學(xué)習(xí)的是物理。但物理給他的感覺并不完整。數(shù)學(xué)則不同，它擁有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬇c無可辯駁的證明，提供了物理學(xué)所缺乏的那份確定性。而這，正是他那段動(dòng)搖概率論根基之旅的起點(diǎn)。 迪穆尼爾-科潘的專長(zhǎng)領(lǐng)域是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)——這是一門橫跨物理與數(shù)學(xué)的學(xué)科，研究含有大量相互作用組分的系統(tǒng)，并利用概率與統(tǒng)計(jì)方法來預(yù)測(cè)其行為。它旨在把控制單個(gè)粒子的微觀規(guī)律，與我們所觀察到的大尺度現(xiàn)象聯(lián)系起來，例如物質(zhì)的相變。 他的研究尤其聚焦于滲流理論、伊辛模型以及 Potts 模型，這些理論描述了當(dāng)某些臨界閾值被觸及時(shí)，材料如何在物理狀態(tài)上發(fā)生突然的轉(zhuǎn)變。想象一下，你正往咖啡濾紙中倒咖啡粉。如果咖啡粉之間的縫隙足夠多，水就能順利流過；如果縫隙不夠，它就會(huì)被阻塞。簡(jiǎn)單吧？這就是滲流理論。而事實(shí)證明，它的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了咖啡。它同樣適用于森林火災(zāi)、傳染病傳播，甚至是材料強(qiáng)度的研究。 然而，盡管滲流理論如此重要，這一領(lǐng)域卻長(zhǎng)期停滯。數(shù)學(xué)家們對(duì)簡(jiǎn)單的滲流模型理解得很清楚。但現(xiàn)實(shí)世界的系統(tǒng)從來不簡(jiǎn)單。它們存在依賴性：一個(gè)部分的狀態(tài)會(huì)影響到其他部分。舉個(gè)例子，在疾病傳播建模中，一個(gè)簡(jiǎn)單的滲流模型假定感染是個(gè)體之間隨機(jī)發(fā)生的。然而現(xiàn)實(shí)中，社會(huì)網(wǎng)絡(luò)制造了依賴關(guān)系。如果一個(gè)人被感染了，他的密切接觸者也更可能被感染，這讓傳播不再是隨機(jī)的，也因此變得難以用基礎(chǔ)的滲流理論來預(yù)測(cè)。 這正是迪穆尼爾-科潘留下印記的地方。他將滲流理論推廣到能夠處理復(fù)雜、相互依賴的系統(tǒng)。他的研究揭示了系統(tǒng)何時(shí)會(huì)經(jīng)歷突然轉(zhuǎn)變——一個(gè)臨界點(diǎn)，在那里秩序驟然瓦解為混沌，或反之。 而其中一個(gè)最重要的應(yīng)用場(chǎng)景，就是磁性。 正如滲流理論幫助我們理解系統(tǒng)何時(shí)從阻塞狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)檫B通狀態(tài)，類似的思想也適用于磁學(xué)。想象一種材料，其中微小的原子自旋相互作用，就像水流經(jīng)濾紙一樣。在高溫下，這些自旋隨機(jī)波動(dòng)，就像一個(gè)無序的滲流系統(tǒng)。但隨著溫度下降，會(huì)發(fā)生突然的轉(zhuǎn)變。這就好比達(dá)到了滲流的閾值。伊辛模型描述的正是這些微小的原子自旋如何排列并產(chǎn)生磁性。在高溫時(shí)，自旋是無序的；而當(dāng)溫度冷卻到某一臨界點(diǎn)時(shí)，秩序便突然顯現(xiàn)。 你可能會(huì)問：所以迪穆尼爾-科潘弄清了水、磁體或氣體等系統(tǒng)何時(shí)會(huì)突然改變狀態(tài)。這當(dāng)然很酷。但除此之外，這對(duì)純數(shù)學(xué)之外的領(lǐng)域又有什么意義呢？事實(shí)證明，它意義重大。 迪穆尼爾-科潘的證明重塑了多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域。 在流行病學(xué)中，他的模型幫助預(yù)測(cè)疾病的傳播方式，從而使干預(yù)策略更為有效。在人工智能與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，他的數(shù)學(xué)洞見強(qiáng)化了處理不確定性的模型，改善了決策與優(yōu)化算法。 他的工作同樣影響了金融學(xué)，他的理論幫助改進(jìn)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估模型，使得市場(chǎng)崩盤的預(yù)測(cè)更加精確。 在量子物理學(xué)中，他的貢獻(xiàn)幫助理解量子相變，為量子計(jì)算的進(jìn)步鋪平了道路。 他的研究幾乎觸及了所有存在不確定性的領(lǐng)域——而那幾乎涵蓋了一切。 盡管取得了這些突破，雨果·迪穆尼爾-科潘卻依舊……令人耳目一新的平凡。同事們形容他極具合作精神，幾乎從不單打獨(dú)斗。在接受 Quanta Magazine 采訪時(shí)提到，他在討論時(shí)常會(huì)因過于興奮而大聲喊叫，以至于附近辦公室的人不得不提醒他關(guān)上門。 他更傾向于用圖畫而不是公式來思考，常常在著手解決問題之前先將其可視化。就像他童年對(duì)體育的熱愛一樣，他把數(shù)學(xué)當(dāng)作一場(chǎng)團(tuán)隊(duì)游戲——思想在不同的人之間不斷碰撞，直到某個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)被點(diǎn)亮。 在數(shù)學(xué)研究之外，迪穆尼爾-科潘的生活保持著平衡。他居住在瑞士，在日內(nèi)瓦大學(xué)任教，同時(shí)在法國(guó)著名的高等科學(xué)研究所（IHES）擁有一個(gè)永久職位。 盡管在學(xué)術(shù)上成就斐然，他始終與個(gè)人生活緊密相連。他已婚并育有一女，在繁重的科研工作中依舊優(yōu)先考慮家庭時(shí)光。他對(duì)體育的熱愛也從未消退，常常成為他身心的雙重放松。 數(shù)學(xué)長(zhǎng)久以來被視為秩序與精確的藝術(shù)。但迪穆尼爾-科潘的研究揭示了更深的事實(shí)：即便在混亂之中，也依然存在結(jié)構(gòu)。 下次當(dāng)你看到冰塊融化，或聽聞股市崩盤，或見證某個(gè)網(wǎng)絡(luò)趨勢(shì)迅速爆紅，請(qǐng)記住——在那些隨機(jī)性的背后，隱藏的數(shù)學(xué)法則正發(fā)揮作用。而正因有像雨果·迪穆尼爾-科潘這樣的數(shù)學(xué)家，我們才開始逐步破解它們。 破解橘子堆積千年謎題的優(yōu)雅證明把橘子裝進(jìn)箱子里，怎樣才是最佳方式？聽起來很簡(jiǎn)單，只要整齊堆放，填滿空隙就行了。但如果目標(biāo)不僅僅是裝下，而是要完美？如果要在數(shù)學(xué)上證明，不存在比這更高效的排列方式呢？事情立刻變得棘手了。 四百多年來，這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題困擾著無數(shù)數(shù)學(xué)家。早在 17 世紀(jì)，天文學(xué)家約翰內(nèi)斯·開普勒就猜想，球體最優(yōu)的堆積方式就是水果商人堆放橘子的金字塔式方法。但要證明這一猜想？那成了數(shù)學(xué)史上最頑固的難題之一。 三維空間中球體的最優(yōu)堆積直到近代才得以證明——這是一個(gè)需要計(jì)算機(jī)與多年驗(yàn)證的難題。 但在更高維度中，最佳的堆積方式完全是個(gè)謎。 當(dāng)簡(jiǎn)單的堆疊規(guī)則失效、直覺不再起作用時(shí)，數(shù)學(xué)仿佛陷入黑暗。直到瑪麗娜·維亞佐夫斯卡破解了密碼。  這是一位烏克蘭數(shù)學(xué)家如何解開一個(gè)困擾了幾代最偉大數(shù)學(xué)家的謎題的故事。而她的突破不僅僅是抽象的趣味，更正在改變我們壓縮數(shù)據(jù)、保護(hù)信息，乃至理解空間本質(zhì)的方式。 讓我們深入其中。瑪麗娜·維亞佐夫斯卡于 1984 年出生在烏克蘭基輔。自幼她就被數(shù)字吸引，迷戀于它們的結(jié)構(gòu)與模式。她曾就讀于基輔自然科學(xué)中學(xué)，這是一所專為數(shù)學(xué)和科學(xué)尖子生設(shè)立的學(xué)校。在那里，她受到了前研究數(shù)學(xué)家安德烈·克尼亞休克（Andrii Knyazyuk）的指導(dǎo)，他向她展示了高等數(shù)學(xué)的美麗。 她參加過多次數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽。但盡管才華出眾，她仍然遭遇過挫折。在最后一年，她僅在全國(guó)排名第十三，差一點(diǎn)就錯(cuò)過了進(jìn)入國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克隊(duì)的資格。但失敗并沒有令她氣餒，反而激發(fā)了她的斗志。 在基輔塔拉斯·謝甫琴科國(guó)立大學(xué)完成學(xué)士學(xué)位后，她赴德國(guó)與瑞士深造，并最終在波恩大學(xué)獲得博士學(xué)位，研究方向是模形式——一種關(guān)鍵的數(shù)學(xué)工具，后來幫助她徹底革新了球體堆積問題。 球體堆積，顧名思義，就是如何以最有效的方式把球體緊密排列在一起。這個(gè)問題在糾錯(cuò)碼、信號(hào)處理甚至物理學(xué)中都有重要應(yīng)用。 在三維空間中，球體的最佳堆積方式由開普勒提出猜想，并在 1998 年由托馬斯·黑爾斯（Thomas Hales）證明。開普勒長(zhǎng)期以來就認(rèn)為，三維空間中球體的最佳堆積方式就是那種水果商人常用的金字塔式堆放。但要嚴(yán)格證明這一點(diǎn)，需要耗盡計(jì)算機(jī)的能力去驗(yàn)證大量可能的排列方式，結(jié)果是現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上最復(fù)雜的證明之一。 黑爾斯的證明嚴(yán)重依賴計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算，以檢驗(yàn)海量的潛在排列。這使得它成為第一個(gè)主要依靠計(jì)算機(jī)驗(yàn)證完成的重大證明之一。 但當(dāng)我們把問題推廣到更高維度時(shí)會(huì)發(fā)生什么呢？直覺不再可靠。在四維、五維及更高維度里，球體之間的關(guān)系變得極其復(fù)雜，三維堆積所遵循的整齊規(guī)則不再適用。 蠻力計(jì)算已完全不可行，要接近問題的答案，必須開發(fā)新的數(shù)學(xué)工具。數(shù)學(xué)家們懷疑，在八維空間中，E8 格子是最佳解；在二十四維空間中，Leech 格子是最佳解。 但是，什么是這些格子？它們?yōu)楹沃匾?/span> 想象你在桌子上擺放玻璃彈珠。最佳方式是六邊形排列，每顆彈珠被六顆其他彈珠環(huán)繞，就像蜂巢一樣。這種方式在二維里最緊湊。在三維空間里，類似的原理也成立：球體自然會(huì)以金字塔式的方式堆積，就像超市里堆放的橘子一樣。 然而，當(dāng)你將這個(gè)思路擴(kuò)展到更高維度時(shí)，情況立刻變得復(fù)雜得多。低維度中那些簡(jiǎn)單的堆疊模式已不再奏效，取而代之的是極為精巧的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。E8 格子就是其中之一。它是一種在八維空間中極其高效的堆積方式，利用完全對(duì)稱的排列最大限度地減少了浪費(fèi)空間。  同樣地，Leech 格子則是二十四維空間中的一種更加非凡的堆積方式。這些維度并非隨意選擇。八維與二十四維之所以特殊，是因?yàn)樗鼈兪俏ㄒ荒艹霈F(xiàn)這些完美、高度對(duì)稱堆積結(jié)構(gòu)的維度。它們?cè)试S獨(dú)特的幾何與代數(shù)關(guān)系的存在，而這些關(guān)系在其他維度中并不會(huì)出現(xiàn)，因此它們是球體堆積問題的數(shù)學(xué)“甜蜜點(diǎn)”。 盡管有強(qiáng)有力的證據(jù)表明，這些格子是八維和二十四維空間中的最優(yōu)解，但要想獲得嚴(yán)格的證明卻是另一回事。缺失的一環(huán)是一種數(shù)學(xué)方法，能夠排除所有其他可能性。而數(shù)十年來，這個(gè)關(guān)鍵步驟始終未能出現(xiàn)。 直到瑪麗娜·維亞佐夫斯卡找到了一條前進(jìn)的道路。 2016 年，在柏林?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)院工作期間，維亞佐夫斯卡取得了驚人的發(fā)現(xiàn)。她借助傅里葉分析中的一種優(yōu)雅方法，構(gòu)造了一個(gè)函數(shù)，使她能夠證明 E8 格子確實(shí)是八維空間中最致密的球體堆積。她的方法建立在科恩（Cohn）與埃爾基斯（Elkies）先前的理論框架之上——他們提出了一個(gè)證明球體堆積界的框架，但始終缺少一個(gè)明確的函數(shù)來完成證明。 維亞佐夫斯卡提供了這一缺失的拼圖。 在短短一周之內(nèi)，她與合作者們將該方法擴(kuò)展到二十四維，證明了 Leech 格子在該空間中同樣是最優(yōu)堆積。 她的證明不僅僅是一個(gè)解答，而是一部數(shù)學(xué)的杰作。它意外地簡(jiǎn)潔，僅僅幾頁紙就完成了證明，而相比之下，三維情形的證明需要數(shù)百頁與計(jì)算機(jī)驗(yàn)證。 數(shù)學(xué)并不僅僅是抽象的謎題，它也深刻影響著現(xiàn)實(shí)世界。維亞佐夫斯卡的突破在多個(gè)領(lǐng)域都有著深遠(yuǎn)的意義。 想想我們是如何發(fā)送短信、撥打電話或在線觀看視頻的。每一秒，數(shù)據(jù)都在全球傳輸，但信號(hào)常常會(huì)受到噪聲干擾——環(huán)境中的干擾可能破壞信息。為了解決這個(gè)問題，我們使用糾錯(cuò)碼，它們能夠幫助檢測(cè)并修復(fù)數(shù)據(jù)傳輸中的錯(cuò)誤。 維亞佐夫斯卡在球體堆積上的研究，有助于改進(jìn)這些糾錯(cuò)碼，使數(shù)字通信更加高效可靠，無論是手機(jī)通訊、深空傳輸，還是高速互聯(lián)網(wǎng)。 再來看密碼學(xué)，也就是研究安全通信的科學(xué)。在網(wǎng)絡(luò)安全威脅不斷演化的世界里，加密技術(shù)至關(guān)重要，以確保信息的安全。高維格子（如維亞佐夫斯卡研究的那些）在設(shè)計(jì)更能抵御攻擊的加密系統(tǒng)中扮演角色，保證我們的個(gè)人數(shù)據(jù)保持安全。 她的工作在量子計(jì)算方面也有間接影響。量子系統(tǒng)極其脆弱，而理解粒子在復(fù)雜高維空間中的相互作用，是推動(dòng)這項(xiàng)技術(shù)的關(guān)鍵。球體堆積為描述這些相互作用提供了新的數(shù)學(xué)工具，幫助研究者開發(fā)更穩(wěn)健的量子算法。 最后，我們來到理論物理學(xué)。宇宙的基本結(jié)構(gòu)，或許與維亞佐夫斯卡研究的格子有關(guān)。特別是 E8 格子，它在弦論中出現(xiàn)，而弦論是一種試圖解釋自然界基本作用力的框架。她的工作提供了對(duì)這些結(jié)構(gòu)更深入的理解，為物理學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與更高維時(shí)空的奧秘貢獻(xiàn)了力量。 她的研究不僅僅是突破性的，它正在塑造未來的科技與我們對(duì)宇宙的理解。 如今，瑪麗娜就職于瑞士洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院（EPFL）。她的丈夫是物理學(xué)家丹尼爾·葉夫圖申斯基（Daniil Evtushinsky），兩人少年時(shí)期在一個(gè)課外物理小組中相識(shí)。他們育有兩個(gè)孩子，她在學(xué)術(shù)工作的高強(qiáng)度與家庭生活之間保持著平衡。 贏得菲爾茲獎(jiǎng)，是數(shù)學(xué)界為最卓越者保留的榮耀。然而在近一個(gè)世紀(jì)里，獲獎(jiǎng)?wù)邘缀跞悄行浴?/span> 數(shù)學(xué)一直是揭示隱藏結(jié)構(gòu)的學(xué)問。維亞佐夫斯卡的工作證明，即便在超出我們想象的維度里，依然存在秩序、優(yōu)美與邏輯。所以，下次當(dāng)你在超市里看到一堆橘子，請(qǐng)記得：要證明這種堆放方式確實(shí)最合理，并非易事。而正因有了瑪麗娜·維亞佐夫斯卡，我們才離理解這一點(diǎn)更近了一步。 從詩人夢(mèng)想到組合數(shù)學(xué)的意外旅程許埈珥從未打算成為一名數(shù)學(xué)家。少年時(shí)期，他的夢(mèng)想是詩歌，而非多項(xiàng)式。但人生總會(huì)帶人走上意想不到的道路。在輟學(xué)多年專注寫作之后，他最終被曾經(jīng)刻意回避的事物吸引——數(shù)學(xué)。  而引導(dǎo)他走入其中的，并不是公式或方程，而是好奇心、模式，以及對(duì)美的追尋——正是這種追尋曾經(jīng)驅(qū)動(dòng)著他的寫作。 這就是一位在數(shù)學(xué)中“迷路”的人，如何改變我們理解宇宙隱藏結(jié)構(gòu)方式的故事。他并沒有從公式里找到數(shù)學(xué)，而是從美感中找到。一個(gè)曾夢(mèng)想書寫詩句的人，卻在數(shù)字中發(fā)現(xiàn)了詩意。在這個(gè)過程中，他重塑了組合數(shù)學(xué)的世界——這門研究模式、排列與隱藏結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)分支。 許埈珥于 1983 年出生在美國(guó)加利福尼亞，但他在韓國(guó)長(zhǎng)大。父親是一名統(tǒng)計(jì)學(xué)教授，母親是俄羅斯文學(xué)教授。從小，他就被文字、思想與哲學(xué)吸引。但數(shù)學(xué)——那是他的弱項(xiàng)。 少年時(shí)期，許埈珥立志成為詩人。16 歲時(shí)，他從高中退學(xué)，花了兩年時(shí)間沉浸在寫作之中。他被文字的美麗與語言的優(yōu)雅所吸引，堅(jiān)信自己會(huì)成為一位文學(xué)巨匠。 但某個(gè)時(shí)刻，他意識(shí)到：詩歌過于自我，過于關(guān)注內(nèi)心世界。他渴望的是某種外在的、普遍的事物——某種存在于自身之外的東西。于是，他進(jìn)入首爾大學(xué)就讀，帶著一個(gè)模糊的念頭：或許可以成為一名科學(xué)記者。 多年來，數(shù)學(xué)在他心里一直只是個(gè)無足輕重的存在。他掛科、逃課，在學(xué)術(shù)上渾渾噩噩。直到大學(xué)第六年，他偶然走進(jìn)了一門由平岡齋輔（Heisuke Hironaka）講授的課程——這位傳奇數(shù)學(xué)家曾獲菲爾茲獎(jiǎng)。 平岡齋輔充滿魅力、出人意料，且對(duì)數(shù)學(xué)懷有極大的熱情。他的課程鮮少拘泥于公式，而是專注于思想——未解的難題、深邃的奧秘，以及數(shù)字中隱藏的優(yōu)美結(jié)構(gòu)。許埈珥被這種方式深深吸引，下課后開始提問。很快，這些問題演變?yōu)殚L(zhǎng)談，最終變成了某種更深的交流。 平岡齋輔將他納入門下。看出這位年輕人身上有一種不同尋常的火花，他邀請(qǐng)?jiān)S埈珥與他一同學(xué)習(xí)，甚至帶他前往日本。許埈珥第一次不只是“學(xué)習(xí)”數(shù)學(xué)，而是“探索”數(shù)學(xué)——把它當(dāng)作一首詩的畫布，用來發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造。 對(duì)大多數(shù)人來說，數(shù)學(xué)意味著僵硬的公式與精確的計(jì)算。但許埈珥看到的東西完全不同。他在數(shù)字中看見形狀，在隨機(jī)性中看見模式。 幾個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)家們一直努力理解組合數(shù)學(xué)——這門研究“計(jì)數(shù)與排列”的學(xué)科。一副撲克牌可以有超過 8×10^67種洗牌方式，那是天文數(shù)字。在書架上排列書籍，或優(yōu)化計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，看似簡(jiǎn)單，但隨著規(guī)模擴(kuò)大，這類問題的復(fù)雜性呈爆炸式增長(zhǎng)。 傳統(tǒng)的方法依賴方程與窮舉計(jì)算，根本無法跟上這種復(fù)雜性。 然而，許埈珥從全新的角度進(jìn)入了組合數(shù)學(xué)。他沒有把排列視為孤立的案例，而是意識(shí)到它們可以通過幾何來理解。通過將組合問題映射到幾何空間，他得以提取出那些困擾數(shù)學(xué)家數(shù)十年的隱藏結(jié)構(gòu)。 起初，這個(gè)想法顯得怪異，甚至違反直覺。組合數(shù)學(xué)處理的是離散對(duì)象，比如集合中的單個(gè)元素；而幾何研究的是連續(xù)空間。兩者怎么可能聯(lián)系起來？ 但許埈珥看到了關(guān)聯(lián)。他注意到，組合模式的行為就像拓?fù)浔砻妗交⒘鲃?dòng)，并以意想不到的方式彼此連接。通過把這些問題轉(zhuǎn)譯成幾何語言，他找到了一個(gè)強(qiáng)有力的新途徑來解決它們。  組合數(shù)學(xué)中最棘手的問題之一，是羅塔猜想（Rota Conjecture），由詹安尼·羅塔（Gian-Carlo Rota）在 1970 年提出。該猜想認(rèn)為，某些數(shù)學(xué)對(duì)象——稱為擬陣（matroids）——擁有隱藏的幾何性質(zhì)，這些性質(zhì)會(huì)以深刻的方式影響它們的結(jié)構(gòu)。 擬陣是一類抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它們捕捉了“獨(dú)立性”的本質(zhì)，這種概念適用于多個(gè)領(lǐng)域，從向量空間到圖論皆是如此。羅塔猜想預(yù)測(cè)，與這些擬陣相關(guān)的一種特殊多項(xiàng)式的系數(shù)，總會(huì)遵循一種稱為對(duì)數(shù)凹性（log-concavity）的模式。這意味著系數(shù)會(huì)穩(wěn)步上升至某個(gè)峰值，然后再下降——就像一條平滑的山脈曲線。 這一性質(zhì)不僅僅是審美上的趣味，它暗示著深層的數(shù)學(xué)對(duì)稱性，意味著擬陣受制于遠(yuǎn)超單純組合規(guī)則的原理。 數(shù)十年來，數(shù)學(xué)家們嘗試證明這一點(diǎn)，但僅憑離散數(shù)學(xué)的工具根本不夠。突破出現(xiàn)于許埈珥和合作者們引入代數(shù)幾何的方法時(shí)。代數(shù)幾何是一門通過方程研究幾何形狀的數(shù)學(xué)分支。他們把擬陣當(dāng)作具有連續(xù)幾何性質(zhì)的對(duì)象來對(duì)待，由此開啟了一個(gè)全新視角，最終證明了羅塔猜想，揭示了組合數(shù)學(xué)與幾何之間無人預(yù)料的橋梁。 許埈珥與合作者 Karim Adiprasito 和 Eric Katz 采取了不同的路徑。他們直接從擬陣構(gòu)造了一個(gè)上同調(diào)環(huán)——這在當(dāng)時(shí)是前所未有的。這樣，他們便能使用代數(shù)幾何中的強(qiáng)大工具：霍奇理論（Hodge theory）。 菲爾茲獎(jiǎng)委員會(huì)認(rèn)可了他在多項(xiàng)長(zhǎng)期懸而未決問題上的突破性成果，其中包括：
這些成就加深了組合數(shù)學(xué)與幾何的聯(lián)系，揭示了隱藏的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，塑造了我們對(duì)這兩個(gè)領(lǐng)域的理解。 他們的突破性證明出人意料地優(yōu)雅，連接了兩門長(zhǎng)期以來似乎關(guān)系甚微的學(xué)科。通過它，他們解決了羅塔猜想，解開了困擾數(shù)學(xué)家數(shù)十年的謎團(tuán)。 許埈珥的研究并不僅僅是數(shù)學(xué)上的奇趣，它在現(xiàn)實(shí)世界中也有著深刻的影響。他在組合數(shù)學(xué)方面的發(fā)現(xiàn)，為我們?cè)趦?yōu)化、計(jì)算和數(shù)據(jù)組織上的思維方式帶來了全新的視角。 以人工智能與數(shù)據(jù)科學(xué)為例。機(jī)器學(xué)習(xí)算法依賴海量數(shù)據(jù)，而如何高效地組織這些信息始終是一個(gè)巨大挑戰(zhàn)。許埈珥的數(shù)學(xué)工具幫助改進(jìn)了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與搜索算法，使人工智能能夠更高效地處理并檢索相關(guān)信息。 在密碼學(xué)與網(wǎng)絡(luò)安全領(lǐng)域，如何安全地編碼信息至關(guān)重要。許埈珥所研究的擬陣相關(guān)的組合結(jié)構(gòu)，在加密方法中也發(fā)揮作用，確保數(shù)字通信能夠免受網(wǎng)絡(luò)攻擊。 此外，他的研究對(duì)量子計(jì)算也有間接的影響。在這里，組合結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性與量子力學(xué)的物理學(xué)相交匯。許埈珥對(duì)離散對(duì)象在幾何框架中行為方式的洞見，可能幫助建立量子態(tài)的模型，為解決那些經(jīng)典方法難以應(yīng)對(duì)的物理與計(jì)算問題提供新路徑。 但或許最令人矚目的，并非這些直接應(yīng)用，而是他所帶來的根本性視角轉(zhuǎn)變。他揭示了原本看似互不相干的領(lǐng)域——組合數(shù)學(xué)與幾何學(xué)——實(shí)際上存在深刻的聯(lián)系。他的發(fā)現(xiàn)為未來研究打開了新的大門，讓數(shù)學(xué)家與科學(xué)家能夠探索那些曾經(jīng)無法觸及的隱藏模式。 盡管成就斐然，許埈珥仍然極為謙遜。在一次采訪中，他坦言，自己依舊不覺得是“真正的數(shù)學(xué)家”。甚至在獲得菲爾茲獎(jiǎng)之后，他仍擔(dān)心別人會(huì)最終發(fā)現(xiàn)——其實(shí)他并沒有那么優(yōu)秀。 與許多數(shù)學(xué)家不同，他既不追求速度，也不熱衷競(jìng)爭(zhēng)。他工作緩慢、細(xì)致且依靠直覺。他相信長(zhǎng)時(shí)間散步，讓思想慢慢發(fā)酵，以耐心而非急迫來處理問題。在他看來，數(shù)學(xué)就像詩歌——是一種對(duì)美的探尋，一種不是從數(shù)字本身，而是從模式、聯(lián)系與優(yōu)雅真理中看待世界的方式。 許埈珥的故事證明，通往偉大的道路并不唯一。他并非神童，也未接受過精英數(shù)學(xué)競(jìng)賽的訓(xùn)練。他是在偶然間、憑借好奇心、堅(jiān)持與藝術(shù)家的美感找到了數(shù)學(xué)。 所以，下次當(dāng)你洗一副撲克牌，或整理書架上的書籍時(shí)，請(qǐng)記住——那里可能潛藏著某個(gè)等待揭示的數(shù)學(xué)真理。因?yàn)檎缭S埈珥所展示的，數(shù)學(xué)不僅僅是邏輯，它也是詩。 數(shù)字無處不在，銘刻在宇宙的肌理之中。有些數(shù)字表現(xiàn)得可預(yù)測(cè)，遵循清晰的模式；但另一些卻依舊頑固地難以捉摸。在這些數(shù)字之中，素?cái)?shù)堪稱終極謎題。它們的定義極其簡(jiǎn)單——只能被 1 和自身整除——然而它們的分布規(guī)律卻違背直覺，幾個(gè)世紀(jì)以來不斷戲弄數(shù)學(xué)家。 詹姆斯·梅納德（James Maynard）就是其中一位。他專注于解決那些看似簡(jiǎn)單卻臭名昭著難以證明的問題。  從素?cái)?shù)間隔的隱藏結(jié)構(gòu)，到“是否存在無限多個(gè)素?cái)?shù)完全不包含某個(gè)特定數(shù)字”這樣的奇特問題，他的研究正在改變我們對(duì)數(shù)字構(gòu)造基石的理解。這是他的故事——一段關(guān)于好奇心、叛逆精神與不懈追求數(shù)學(xué)真理的傳奇。 詹姆斯·梅納德并不是那種典型的數(shù)學(xué)神童。他沒有用閃電般的速度讓老師驚嘆，也沒有死記硬背無數(shù)公式。相反，他是那個(gè)總是問太多問題的孩子——那個(gè)拒絕僅僅因?yàn)槟呈隆袄響?yīng)如此”就接受它的孩子。 梅納德出生于英國(guó)切姆斯福德。從小就展現(xiàn)出對(duì)權(quán)威的懷疑精神。三歲時(shí)，在一次健康訪視評(píng)估中，他故意答錯(cuò)問題，只為觀察大人會(huì)有怎樣的反應(yīng)。青少年時(shí)期，他曾通過只寫出物理題的正確答案而不寫解題步驟來抗議學(xué)校的評(píng)分制度，明知這樣會(huì)失分，他依然堅(jiān)持。 在國(guó)王愛德華六世文法學(xué)校（King Edward VI Grammar School）展現(xiàn)出數(shù)學(xué)天賦后，梅納德繼續(xù)在劍橋大學(xué)深造，獲得學(xué)士與碩士學(xué)位。隨后，他前往牛津大學(xué)，在著名解析數(shù)論學(xué)者羅杰·希思-布朗（Roger Heath-Brown）的指導(dǎo)下完成博士學(xué)位。在那里，他憑借對(duì)素?cái)?shù)的深刻洞察，迅速贏得同行與導(dǎo)師的贊賞。 博士畢業(yè)后，梅納德前往蒙特利爾大學(xué)擔(dān)任博士后研究員，在那里進(jìn)一步打磨他關(guān)于素?cái)?shù)間隔的想法。正是在這一時(shí)期，他獨(dú)立發(fā)展出一種篩法，顯著改進(jìn)了張益唐關(guān)于素?cái)?shù)小間隔的突破性成果。他的結(jié)果震驚了數(shù)學(xué)界，為他贏得了眾多世界一流學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)的邀請(qǐng)，鞏固了他作為最有前途的青年數(shù)學(xué)家之一的地位。 在此期間，梅納德常常幾乎與世隔絕地工作，數(shù)月之久不斷推敲自己的方法，直到最終公布結(jié)果。他后來回憶說，正是揭開素?cái)?shù)更深層真理的那種激動(dòng)，讓他常常工作至深夜，完全忘記了時(shí)間的流逝。 他的博士后導(dǎo)師最初曾勸他不要過度專注于素?cái)?shù)間隔問題，認(rèn)為幾乎無法攻克。然而，梅納德的執(zhí)著讓他取得了一項(xiàng)獨(dú)立的突破，足以與張益唐的工作比肩。隨著聲譽(yù)日益增長(zhǎng)，他回到牛津大學(xué)，在莫德林學(xué)院（Magdalen College）擔(dān)任研究員。在那里，他又攻克了另一個(gè)不同尋常的問題：是否存在無限多個(gè)素?cái)?shù)完全避開某個(gè)特定的數(shù)字。 他關(guān)于“數(shù)位受限素?cái)?shù)”的研究甚至讓資深的數(shù)論學(xué)者們大為震驚，展現(xiàn)了他將看似簡(jiǎn)單的問題轉(zhuǎn)化為深刻數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的非凡能力。 在大多數(shù)人眼中，素?cái)?shù)似乎是散落在數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)。然而數(shù)學(xué)家們懷疑，在它們那混亂的分布中，隱藏著某種秩序——一種若能被破解，便足以徹底改變數(shù)論的秩序。 數(shù)論研究的是整數(shù)及其關(guān)系。在這個(gè)領(lǐng)域中，素?cái)?shù)具有特殊的重要性。它們是算術(shù)的基石，所有其他整數(shù)都能唯一地分解為素?cái)?shù)的乘積，這就是所謂的算術(shù)基本定理。 除了理論上的重要性，素?cái)?shù)在現(xiàn)代技術(shù)中也扮演關(guān)鍵角色。密碼學(xué)——研究安全通信的科學(xué)——依賴于分解大素?cái)?shù)的困難性。許多加密系統(tǒng)，包括線上交易、數(shù)據(jù)保護(hù)與網(wǎng)絡(luò)安全，都依靠將大整數(shù)分解為素?cái)?shù)因子的難題來確保安全，這一問題至今在計(jì)算上依然極難攻克。 理解素?cái)?shù)的分布，也對(duì)純數(shù)學(xué)至關(guān)重要，特別是在證明有關(guān)數(shù)的分布的重大猜想時(shí)。像孿生素?cái)?shù)猜想、哥德巴赫猜想，這些問題幾個(gè)世紀(jì)以來不斷吸引著數(shù)學(xué)家們的目光。哪怕只是對(duì)素?cái)?shù)規(guī)律的微小推進(jìn)，也可能在數(shù)學(xué)與計(jì)算的多個(gè)領(lǐng)域引發(fā)突破。 這就是詹姆斯·梅納德的切入點(diǎn)。他對(duì)素?cái)?shù)的迷戀，使他選擇直面數(shù)論中最深?yuàn)W、最古老的一些謎題，從最大的問題之一開始：素?cái)?shù)間隔。 孿生素?cái)?shù)猜想認(rèn)為，存在無窮多個(gè)只相差 2 的素?cái)?shù)對(duì)——比如 11 和 13，或 17 和 19。但幾個(gè)世紀(jì)以來，沒有人能證明這一點(diǎn)。 2013 年，張益唐震驚數(shù)學(xué)界，他證明了存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)，它們之間的間隔至多為 7000 萬。 梅納德登場(chǎng)了。在幾個(gè)月之內(nèi)，他獨(dú)立構(gòu)建了一種更強(qiáng)大的篩法，將這一上界大幅縮小到 600。 與傳統(tǒng)篩法依賴優(yōu)化現(xiàn)有框架不同，梅納德引入了一種多維篩法，它提供了更大的靈活性，能更好地捕捉素?cái)?shù)對(duì)。他的辦法改進(jìn)了篩理論中對(duì)素?cái)?shù)簇的加權(quán)與分析，使得尋找小間隔素?cái)?shù)的方法更高效。他的突破如此優(yōu)雅且適應(yīng)性強(qiáng)，以至于它催生了后續(xù)一系列新發(fā)現(xiàn)，最終幫助數(shù)學(xué)家們將間隔進(jìn)一步縮小到 246。 梅納德在數(shù)論的版圖上留下了濃墨重彩的一筆。但他遠(yuǎn)未就此止步。 有些數(shù)學(xué)問題看起來幾乎荒誕得過于簡(jiǎn)單。比如：是否存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)，它們完全不包含數(shù)字 7？ 乍一聽，這似乎微不足道。當(dāng)然有一些素?cái)?shù)不帶“7”。但隨著數(shù)字變大，要避開某個(gè)特定數(shù)字就變得越來越困難。要證明這種模式會(huì)無限持續(xù)下去——那可是數(shù)論中幾十年來懸而未決的問題。 梅納德證明了：確實(shí)存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)，它們完全避開任意指定的一個(gè)數(shù)字。他的證明不僅解決了這一長(zhǎng)期未解的問題，還為理解素?cái)?shù)結(jié)構(gòu)開辟了新路徑。 除了素?cái)?shù)研究之外，梅納德在丟番圖逼近領(lǐng)域也作出了重要貢獻(xiàn)。丟番圖逼近是數(shù)論的一個(gè)分支，研究無理數(shù)能被有理數(shù)逼近到什么程度。他在這一領(lǐng)域的成果，尤其是在對(duì)杜芬–謝弗猜想（Duffin–Schaeffer Conjecture）的改進(jìn)上，深化了我們對(duì)有理數(shù)在無理數(shù)周圍分布規(guī)律的理解。 通過發(fā)展新的概率方法，他解決了一個(gè)長(zhǎng)達(dá) 80 年的疑問：哪些分母序列能夠提供最佳的逼近？ 素?cái)?shù)是現(xiàn)代生活中最關(guān)鍵系統(tǒng)的基石之一。梅納德的工作因而具有極其廣泛的影響。 在密碼學(xué)與網(wǎng)絡(luò)安全中，網(wǎng)絡(luò)交易的安全性、加密信息，乃至國(guó)家安全協(xié)議，都依賴于素?cái)?shù)。理解它們的分布規(guī)律，有助于加強(qiáng)加密技術(shù)，使數(shù)據(jù)更加安全。 在人工智能領(lǐng)域，改進(jìn)我們對(duì)隨機(jī)性的理解同樣重要。許多人工智能算法依賴隨機(jī)數(shù)生成，而隨機(jī)數(shù)又與素?cái)?shù)密切相關(guān)。梅納德對(duì)素?cái)?shù)間隔的研究幫助優(yōu)化這些系統(tǒng)，使其更高效。 素?cái)?shù)的行為甚至與量子波函數(shù)存在驚人相似之處。隨著量子計(jì)算的發(fā)展，數(shù)論的洞見很可能在新量子算法的開發(fā)中發(fā)揮作用。 梅納德的發(fā)現(xiàn)不僅僅是解決數(shù)學(xué)難題——它們正在重塑我們對(duì)數(shù)字的理解，帶來遠(yuǎn)超純數(shù)學(xué)范圍的影響。 盡管才華橫溢，詹姆斯·梅納德并不是人們心目中那種典型、孤僻的數(shù)學(xué)家。他性格外向，善于交際，并且酷愛攝影——用鏡頭捕捉城市景觀中的圖案，就像他在數(shù)字中捕捉規(guī)律一樣。 同事們形容他既是現(xiàn)代數(shù)論的核心人物，又始終保持謙遜、平易近人。他常常會(huì)忘記戴眼鏡，甚至曾經(jīng)把陌生人誤認(rèn)成自己的女朋友。然而一旦進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，他的注意力卻鋒利如刀。 他在素?cái)?shù)間隔、數(shù)位受限素?cái)?shù)以及數(shù)論其他分支的研究，已經(jīng)重塑了數(shù)學(xué)的面貌。但最令人興奮的是：數(shù)論里仍有數(shù)不清的未解之謎，等待著有人去開啟它們的大門。 梅納德的經(jīng)歷證明了：好奇心、堅(jiān)持以及非傳統(tǒng)的思維方式，能夠帶來突破，哪怕是在最令人困惑的難題中。誰知道呢？也許下一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，就會(huì)來自某個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題——就像當(dāng)初他一樣。 |
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