李群和李代數：在數學、物理、工程中的核心作用

用“先宏觀、后細節”的路線圖，把李群和李代數這兩個概念一次講透，并給出它們在數學、物理、工程中的核心作用。

您可以按需跳過已懂的部分，或按圖索驥深入細節。

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一、一句話總覽

李群 = 同時是“群”又是“光滑流形”的對象，可用來描述“連續對稱”。

李代數 = 李群在單位元處的“切空間 + 一種反對稱括號”，用來把群論問題微分線性化。

李群提供“連續對稱”的全局幾何，李代數把它微分線性化；兩者通過指數/對數映射來回切換，從而把非線性群論問題轉化為線性代數問題，成為現代幾何、物理、工程的核心語言。

指數映射：將李代數元素映射到李群中

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二、李群：對稱的“連續版本”

1. 定義（數學）

集合 G 同時滿足兩條：

(i) 群結構：封閉、結合、單位元、逆元；

(ii) 光滑流形結構：元素之間可做微積分。

群運算 μ:G×G→G 與逆運算 i:G→G 都是光滑映射。

→ 關鍵詞：topological group + smooth manifold = Lie group。

2. 典型例子（從小到大）

SO(2)：平面旋轉群。元素 e^{iθ}，θ∈?/2π?。拓撲是圓 S1。

SO(3)：三維旋轉群。元素 3×3 正交矩陣 R，det R=+1。

SE(3)：剛體運動群（旋轉+平移）。機器人學“位形”空間。

GL(n,?)：所有可逆 n×n 矩陣；SL(n,?)：行列式為 1 的子群。

U(n)、SU(n)：量子力學里的幺正群。

微分同胚群 Diff(M)：廣義相對論中的“坐標變換”群。

3. “作用”與“對稱”

李群可作用在流形 M 上：ρ:G×M→M。

物理上：G 的對稱 ? 守恒量（Noether）。

例：SO(3) 旋轉對稱 ? 角動量守恒。

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三、李代數：把群問題線性化

1. 動機

群元素 g∈G 一般高度非線性，但“靠近單位元的微擾”可線性化：

g(ε)=exp(εX)≈I+εX，其中 X 屬于單位元處的切空間 T_eG。

把 X 的集合記作 = Lie(G)。

2. 定義

是向量空間 + 一個雙線性反對稱括號 [·,·]（李括號），滿足 Jacobi 恒等式：

[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0。

指數映射 exp:→G 把 X 映回群元 e^X。

3. 經典對應表

群 G 李代數

SO(3) (3)=3×3 實反對稱矩陣

SU(2) (2)=2×2 反厄米特矩陣

SE(3) (3)≈?3⊕(3)（剛體速度空間）

GL(n,?) (n,?)=M_n(?)

SL(n,?) (n,?)=跡零矩陣

4. 李括號的幾何意義

[X,Y] 表示“先做 X 流，再做 Y 流，再做 -X，再做 -Y”的閉合失敗量（微分幾何里稱為 Lie bracket of vector fields）。

物理：角速度向量 ω∈?3 的李括號就是叉積 ω?×ω?。

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四、李群 vs 李代數：橋梁定理

1. Lie I （Lie 定理）

局部：每個李群 ? 唯一李代數。

局部逆：每個有限維實李代數 ? 唯一單連通李群（通用覆蓋）。

2. Lie II （同態提升）

若 G 單連通，則李群同態 Φ:G→H 與李代數同態 φ:→ 一一對應：

Φ(exp X)=exp(φ(X))。

3. Lie III （子對象）

連通李子群 H?G 對應 ? 的子代數，且 H 由 exp() 生成。

4. 指數映射的“障礙”

對緊李群（SO(n), SU(n)），exp 是滿射。

對非緊群（SL(2,?)），exp 不一定滿；存在“不可達”元素。

常見對應關系

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五、在數學中的作用

1. 微分幾何

主叢、聯絡、曲率的語言都建立在李值 1-形式（-值）。

對稱空間的分類（Cartan）。

2. 表示論

李群表示 ? 李代數表示（通過 exp 局部同構）。

權圖、根系 → 分類半單李代數（Dynkin 圖）。

3. 動力系統

李群作用下的不變量與約化（Marsden–Weinstein 約化）。

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六、在物理中的作用

1. 量子力學

SU(2) 雙覆蓋 SO(3)：自旋 1/2 粒子出現。

李代數生成元 = 物理可觀測量（角動量算符 J_i 滿足 [J_i,J_j]=i?ε{ijk}J_k）。

2. 量子場論

規范群 G ? 規范場 A_μ 取值于 。

Yang–Mills 作用量：F{μν}=?μA_ν??νA_μ+[A_μ,A_ν]。

3. 粒子物理標準模型

規范群 SU(3)c × SU(2)L × U(1)Y。

自發對稱破缺：李代數水平出現 Higgs 機制。

4. 廣義相對論的微分同胚群

Diff(M) 是無限維李群，其李代數是光滑向量場 Lie algebra (M)。

約束代數（Dirac）決定 ADM 動力學。

5. 凝聚態

拓撲序中的對稱保護態：用射影表示分類（群擴張與李代數上同調）。

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七、在工程與計算中的作用

1. 機器人與計算機視覺

SE(3) 上插值、優化、濾波（Lie 群卡爾曼濾波）。

避免“萬向節鎖”：用四元數/李代數參數化旋轉。

2. 深度學習

等變網絡（Equivariant NN）把特征空間做成群表示。

SE(3)-Transformer、LieConv 利用李代數參數化卷積核。

3. 數值積分

Lie–群積分器：保持辛結構/能量/動量；比傳統 RK 更穩。

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八、速記

把李群想成“帶群結構的曲面”，李代數就是“曲面在單位元的切平面 + 叉積”。

指數映射 exp 把切平面“卷”回曲面，對數映射 log 把曲面局部“攤”平到切平面。