題目：一個自然數除429、791、500所得的余數分別是a+5、2a、a，求這個自然數和a的值。解答這道題之前，我們學習一下同余定理相關公式及其推導結論。 一、多個除數余數相同時，求原數的公式； 當一個數N除以多個不同的除數，余數都相同時，我們能直接寫出N的通用表達式，推導如下： 例1：N除以 5 余 1，除以 6 余 1（余數都是 1）。 1、根據 “被除數 - 余數 = 除數 × 商”，可得： N?1能被 5 整除（因為N=5×k1) N?1能被 6 整除（因N?1=6×k2）。 2、N?1是 5 和 6 的公倍數（既能被 5 整除，又能被 6 整除）。 3、反推N的表達式：N?1=30×K → N=30×K+1。 例2：一個整數N除以 5 余2，除以 7 余 2，除以9 余2（余數都是 2），N的最小值 因5、7、9互為質數，根據公式我們可以快速求出最小值：N=5×7×9+2=317 二、同余定理的核心推理：余數相同，則除數整除兩數差 若兩個整數m、n除以同一個整數p所得余數相同，則p能整除m - n 例如：n=31，即m÷5=31÷5=6......1; m=61，即n÷5=61÷5=12.....1 則p=m-n=61-31=30； p÷5=30÷5=4（整除，沒有余數） 三、余數擴倍法 所以 “余數擴倍法” 的意思是：如果 1 份東西除以除數 d，余數是 r，那么 k 份這樣的東西除以 d，余數就是 “r×k”。 例如：13÷9 = 1…… 余 4； 如被除數擴成 2 倍：13×2=26 計算：26÷9 = 2…… 余 8； 此時余數是 8，正好是 1 倍余數（4）的 2 倍（4×2=8）——余數跟著擴了 2 倍！ 被除數擴成 3 倍：13×3=39 有上述知識，我們現在開始解答題目： 1、先明確 “除” 和 “余數” 的意思 “一個自然數除 429”，其實就是 “429 除以這個自然數”。比如 “2 除 6” 就是 “6÷2”。題目里說： 429 ÷ 這個自然數，最后剩下的數（余數）是a+5； 791 ÷ 這個自然數，余數是2a； 500 ÷ 這個自然數，余數是a。 們把這個自然數叫做 “除數 d”，核心思路是：讓不同除法的余數變相同，再找除數的規律。 2、把余數 “變統一”，消去a 429 除以d余a+5，意思是 “分完后多剩了 5 個”。如果我們從 429 里先去掉這多剩的 5 個，剩下的數除以d，余數就會和 500 的余數一樣（都是a）。 計算：429?5=424，所以 424 ÷d，余數是a（和 500÷d的余數相同）。 現在 424 和 500 除以d余數都是a，所以它們的差能被d整除： 500?424=76，根據同余定理的核心推理：余數相同，則除數整除兩數差，可得出d是 76 的因數（76 能被d整除，比如 1、2、4、19、38、76） 3、讓 791 的余數也和 500 的余數 “關聯”（消去a） 791 除以d余2a，500 除以d余a。如果我們把 500 “翻一倍”（相當于兩堆 500），根據余數擴倍法，那么兩堆 500 除以d的余數加起來就是a+a=2a，和 791 的余數一樣了。 兩堆 500 是：500×2=1000，所以 1000 ÷d，余數是2a（和 791÷d的余數相同）。 4、確定除數d的值 d既要能整除 76，又要能整除 209，所以d是 76 和 209 的 “共同因數”。 76 的因數：1、2、4、19、38、76； 209 的因數：1、11、19、209； 共同因數只有 1 和 19。但除數不能是 1（1 除任何數都余 0，不符合題目里的余數），所以 d=19。 5、計算a的值 知道了除數是 19，用 “500÷19” 算余數a（因為 500÷19 余a）： 19×26 = 494，500 - 494 = 6，所以a=6。 答：這個自然數是19，a的值是6。  打開今日頭條查看圖片詳情 |
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