【原】小樂數學科普：Tony Phillips教授的數學讀報評論2025-07

zzllrr小樂 2025-08-27 發布于江蘇

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本月主題：

一、解結猜想被推翻

二、素數和分拆

作者：Tony Phillips（石溪大學數學教授）2025-8-25

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-8-27

一、解結猜想被推翻

馬修·斯帕克斯（Matthew Sparkes）在2025年7月15日的《新科學家》雜志上發表了題為“復雜結實際上比簡單結更容易解開”的文章 https://www./article/2487444-complex-knots-can-actually-be-easier-to-untie-than-simple-ones/ 。這個標題實際上具有誤導性。

斯帕克斯報道這項關于解結數（下文有精確定義）的新研究，該數值衡量解開結的難度。新聞是：一些復雜結的解結數低于預期。因此，更準確的標題可能是“一些復雜結比預期更容易解開”。

為了解釋解結數，我們需要一些細節。通常，結（knot，也稱扭結、紐結）可以用它在平面上的投影來表示。當結上的兩點位于平面上同一點的上方時，這被稱為“交叉”（crossing）。每次交叉時，一條線在上面，另一條線在下面。（從圖示中很容易分辨出哪條線在上面，哪條線在下面。）

結的交叉數是指在該結任意投影中出現的最小交叉數。這是最基本的結不變量；在結表格中，條目按其交叉數分組，并用下標區分。例如，七個不同的結（七個交叉點，真是巧合）標記為 7?, 7?, ?, 7? 。

為了計算解結數，我們需要改變交叉，也就是說，我們需要交換位于該點上方的結的兩股線。改變交叉會產生不同的結，可能更簡單，也可能更復雜。改變交叉的具體位置會對結果的拓撲結構產生很大影響。

不同位置的交叉變化會產生不同的結果。這里，我們展示了結 7? 的兩種不同交叉變化。需要更改的交叉已突出顯示。左側的交叉變化導致解結。右側的交叉變化產生了非平凡結 5? 。

圖源：Tony Phillips

現在我們可以定義解結數（unknotting number）了。它是能最終得到一個完全解結圓圈的最小交叉變化數。例如，結 7? ，也稱為右手系 (2,7) 環面結，其解結數為 3。

環面結 7? 的解結數為 3。改變三個突出顯示的交叉點后，該結可以展開成一個解結的圓圈。（此圖的鏡像可以說明￣7?（左手系 (2,7) 環面結）的相同性質。）可以證明，沒有任何更少的交叉改變可以得到解結。

圖源：Tony Phillips

這項新研究關注的是解結數在連接和（connected sum）運算下的行為。兩個結的連接和是在它們之間構建一座二鏈橋而形成的結。

右三葉結（trefoil）和左三葉結相連接，形成方結。

圖源：Tony Phillips

結理論中一個長期存在的猜想是，連接和的解結數等于各分量解結數之和。這聽起來合理，在很多情況下也成立。但并非總是如此：在“連接和下解結數不可加”一文中 https:///pdf/2506.24088 ，Mark Brittenham 和 Susan Hermiller（內布拉斯加大學）報告了無窮多個反例的存在，并詳細列舉了其中一個。他們證明了 7? 及其鏡像￣7? 的連接和的解結數小于或等于 5，而兩個單獨的解結數之和為 6。

（2,7）環面結及其鏡像均已被剪斷，且松散的繩端已連接起來，形成一個單一的結。

結 7? 及其鏡像￣7 的連接和。Brittenham 和 Hermiller 證明，即使各自的解結數均為 3，其連接和的解結數也小于或等于 5。

圖源：Tony Phillips

證明過程繁瑣。作者用了 18 張連續的圖表，其中一些圖表相當復雜，來解釋如何操縱連接和的結，從而得到合適的交叉序列。

解結數聽起來像是一個相當基礎的概念，但它卻可能難以捉摸。根據 Brittenham 和 Hermiller 的研究，仍有一些 10 個交叉結的解結數未知。此外，值得注意的是，在連接和下，交叉數本身是否可加仍不得而知。當 Colin Adams 在《結書》（The Knot Book 2004年 https://www.google.com/books/edition/The_Knot_Book/M-B8XedeL9sC ）中將其稱為“未解的大問題”時，這個問題已經長達100年懸而未決。

二、素數和分拆

今年夏初，出現了幾條新聞報道，大力宣揚威廉·克雷格 (William Craig)、揚-威廉·范·伊特森 (Jan-Willem van Ittersum) 和小野健 (Ken Ono) 在檢測素數方面的新研究。

雷切爾·克羅威爾（Rachel Crowell）撰寫的《數學家想出了'令人驚嘆’的素數定義方法》于6月16日發表在《科學美國人》上。 https://www./article/mathematicians-hunting-prime-numbers-discover-infinite-new-pattern-for/
凱蒂·斯伯丁（Katie Spalding）的文章“在數學中最難以預測的對象——素數背后發現了'非凡’的模式”于6月21日發表在《IFLScience》上。 https://www./remarkable-pattern-discovered-behind-prime-numbers-maths-most-unpredictable-objects-79715
7月1日，約書亞·沙維特（Joshua Shavit）在《光明新聞》（The Brighter Side News）上發表了題為“數學家發現無需除法即可識別素數的巧妙新方法”的文章。 https://www.ws/post/mathematicians-discover-clever-new-way-to-identify-prime-numbers-without-dividing/

素數（也稱質數）是只能被自身和1整除的整數。前幾個素數是 2、3、5、7、11 和 13。歐幾里得證明了素數有無窮多個。但素數在整數中的分布究竟如何，至今仍是一個謎。

因此，當 Craig、van Ittersum 和 Ono 構造出一個無限函數族時，這在數學上引起了轟動。這些函數接受整數 n ，當且僅當 n 為素數時，輸出 0。他們的論文《整數分拆檢測素數》于去年9月發表在《美國國家科學院院刊》（PNAS）上 https://www./doi/10.1073/pnas.2409417121 。

為了理解其函數背后的概念，我們可以重點關注該函數族中的第一個函數：

(n2-3n+2)M?(n)-8M?(n)

系數 M?(n)、M?(n)是麥克馬洪（MacMahon）數，是根據分拆（partition，也稱劃分、拆分）定義的組合常數。整數 n 的分拆是將 n 寫成自然數之和的一種方式；例如， 6+3 和 4+2+2+1 是 9 的分拆， 9 本身也是一種分拆。

請注意，在一個分拆中，項可以重復出現，例如 7=3+3+1、 7=2+2+2+1 ，甚至 7=1+1+1+1+1+1+1 。麥克馬洪數基于記錄分拆中使用了多少個不同的數字，以及每個數字出現的頻率。

第一類麥克馬洪數 M?(n) 是最簡單的。從整數 n 開始，考慮 n 的所有分拆，每個分拆部分的數值大小都相同（即所有項都相等的分拆）。對于每個分拆，記下重數（multiplicity）——即該項在分拆中出現的次數。對于 n=7 ，只有兩個分拆的大小相同。一個是分拆 7=7 ，其重數為 1；另一個是分拆 7=1+1+1+1+1+1+1 ，其重數為 7。

現在對重數求和：在這個例子中，你得到了 1+7=8 。因此，

M?(7)=8

要對不同的整數 n 找到 M?(n) ，請使用 n 的所有單一大小分拆重復此過程。

接下來的麥克馬洪數稍微復雜一些。為了計算 M_k(n) ，你需要考慮 n 的所有k種不同大小的劃分。但現在每個劃分都有 k 個不同的重數；這些重數先相乘，然后再相加。

舉個例子，可以幫助我們理解這個定義。假設 k=2 以及 n=7 。 7 有 11 種分拆，使得滿足每種分拆中的數字大小為 2 種。下表中，你可以看到分拆、分拆中兩種數字各自的重數以及重數的乘積。

M?(7) 是所有重數乘積的和： M?(7)=1+2+1+1+3+2+2+4+3+6+5=30 。

麥克馬洪數還有其他定義 https://math./questions/4916928/macmahon-partition-function-and-prime-detection-ref-arxiv2405-06451 ，但這是 Craig 等人使用的定義，也是與分拆最直接相關的定義。

現在我們可以用數字 7 來測試作者的第一個素數檢測函數了。給表達式 (n2-3n+2)M?(n)-8M?(n) 賦值 n=7，正如承諾的那樣，因為 7 是素數，得出 (49-21+2)· 8-8·30 = 0 。重復一遍表述，作者證明了這個表達式對無窮多個素數中的任意一個都給出零，對任意合數都給出非零值（實際上，嚴格為正值）。

為了從這個無限的素數檢測序列的開頭部分取樣，以下是 (n2-3n+2)M?(n)-8M?(n) 在n = 2 到 49 之間的整數對應的值。