試題內(nèi)容
周發(fā)成 李兵
解法分析
條件的初步處理
設(shè)∠DCE=∠BCE=α，∠BEC=β，
∴α+β=90°，
∴2α+2β=180°，
∴∠DCF=180°-2α=2β.
∵DF=DC，
∴∠F=∠DCF=180°-2α=2β.
(由題意得：α>β)
方法1：三線合一+知二推一
1.當(dāng)題中同時(shí)出現(xiàn)“角平分線”和“平行線”時(shí)，可嘗試尋找“等腰三角形”獲取解題思路.
2.等腰三角形中的常用輔助線是作底邊上的高/底邊上的中線/頂角平分線，利用三線合一得到相等的線段或角.
分別延長CE，DA交于點(diǎn)G.
易證：∠1=∠3，
∴CD=GD.
作DH⊥CF于點(diǎn)H.
根據(jù)等腰三角形三線合一證明：
CF=2CH.
易證：△AEG～△BEC，
∴AG:BC=AE:BE，即AG:4=3:5，
∴AG=.
設(shè)CH=，則AD=+4，
∴CD=GD=+.
在Rt△CDH中，由勾股定理得：
+8=(+)，
解得：=，
∴CF=2=.
方法2：三線合一+知二推一
受方法1的啟發(fā)，我們可以先構(gòu)造平行線，再結(jié)合角平分線推出等腰三角形.
過點(diǎn)E作BF的平行線，交CD于點(diǎn)G.作DH⊥CF于點(diǎn)H.作GI⊥CF于點(diǎn)I.
(解題過程略)
方法3：三線合一+知二推一
此法與方法2基本相同.
過點(diǎn)E作BF的平行線，交CD于點(diǎn)G.作DH⊥CF于點(diǎn)H.作CI⊥EG于點(diǎn)I.
(解題過程略)
方法4：三線合一+知二推一
1.與方法2的解題思路類似，先構(gòu)造平行線，再結(jié)合角平分線推出等腰三角形.
2.利用相似三角形或銳角三角函數(shù)解決問題.
過點(diǎn)E作CD的平行線，交CB的延長線于點(diǎn)G.作DH⊥CF于點(diǎn)H.
(解題過程略)
方法5：三線合一+知二推一
與方法4解題思路類似.
過點(diǎn)D作CE的平行線，交BC的延長線于點(diǎn)G.作DH⊥CF于點(diǎn)H.
(解題過程略)
方法6：二倍角+銳角三角函數(shù)
1.初步處理?xiàng)l件時(shí)，發(fā)現(xiàn)了二倍角(β與2β)且2β的三角函數(shù)值是求解的重要條件.
2.利用等腰三角形頂角的外角構(gòu)造二倍角是常用方法.
在BE上取點(diǎn)G，使∠ECG=∠BEC=β，
∴CG=EG，∠BGC=2β.
設(shè)BG=，則CG=EG=5-，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：
+4=(5-)，
解得：=，
∴tan2β=.
作DH⊥CF于點(diǎn)H.
根據(jù)等腰三角形三線合一證明：
CF=2CH=2×=.
方法7：垂線+相似三角形
因?yàn)棣梁挺禄ビ啵钥山柚咕€來構(gòu)造等腰三角形，同時(shí)產(chǎn)生一線三直角型相似.(與方法6類似)
過點(diǎn)C作CD的垂線，交AB于點(diǎn)G.作DH⊥CF于點(diǎn)H.
易證：∠ECG=∠BEC=β，
∴CG=EG.
與方法6同理可證：BG=，CF=2CH.
易證：△BCG～△HDC，
∴BG:CH=BC:DH，即:CH=4:8，
∴CH=，
∴CF=2CH=.
方法8：隱圓+相似三角形/銳角三角函數(shù)
利用圓周角定理也可以實(shí)現(xiàn)角的加倍或平分.
分別延長DA，CE交于點(diǎn)G.連接FG.過點(diǎn)G作FB的垂線，交FB的延長線于點(diǎn)H.
易證：∠HGC=β，∠CDG=2β，∠1=∠3，
∴DG=DC=DF，
∴點(diǎn)G、C、F在以點(diǎn)D為圓心，DC長為半徑的圓上，
∴∠CFG=∠CDG=β.
易求得：tanβ=.
在Rt△GHF中，HF==10，
在Rt△GHC中，HC=GH·tanβ=，
∴CF=HF-HC=.
方法9：角平分線的性質(zhì)+割補(bǔ)法
1.作角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離也是常見的輔助線添加方式.
2.圖中出現(xiàn)了較多的直角三角形，便于求出圖形面積或使用勾股定理.
作EG⊥CD于點(diǎn)G，連接DE.作DH⊥CF于點(diǎn)H.
由角平分線的性質(zhì)得：GE=BE=5.
設(shè)CH=，則AD=+4.
∵梯形ABCD的面積=△BCE的面積+△ADE的面積+△CDE的面積，
∴(+4+4)×8=×4×5+(+4)×3+CD×5，
∴CD=+.
在Rt△CDH中，由勾股定理得：
+8=(+)，
解得：=，
與方法1同理可證：CF=2CH=.
方法10：角平分線的性質(zhì)+相似三角形
以傾斜的直角的頂點(diǎn)為核心，構(gòu)造一線三直角型相似(全等)三角形是常用輔助線.
作EG⊥CD于點(diǎn)G.作DH⊥CF于點(diǎn)H.作GM⊥CF于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作MG的垂線，交MG的延長線于點(diǎn)N.
易證：△ENG～△GMC，相似比為5:4.
設(shè)EN=5，GN=5，則GM=4，CM=4，
∴5=4+4，5+4=5，
解得：=，=，
∴GM=4=，CM=4=.
易證：△DHC～△GMC，
∴CH:CM=DH:GM，即CH:=8:，
∴CH=，
∴CF=2CH=.
方法11：建系*
在方法9中，易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B和點(diǎn)G關(guān)于CE對稱，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而解決問題.
以點(diǎn)B為原點(diǎn)，直線BC為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
易求得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，0)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，5)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為8.
作EG⊥CD于點(diǎn)G，連接BG交CE于點(diǎn)O.作DH⊥CF于點(diǎn)H.
根據(jù)AAS證明△BCE?△GCE，進(jìn)而證明：CE垂直平分BG.
根據(jù)待定系數(shù)法求得：直線CE的解析式為=-+5.
∴直線BG的解析式為=.
聯(lián)立直線CE和直線BG的解析式，
求得點(diǎn)O的坐標(biāo)為(，)，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，).
根據(jù)待定系數(shù)法求得：直線CG的解析式為=-.
將=8代入，解得：=，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，8)，
∴CH=-=，
∴CF=2CH=.
