哥德爾的世界 1 流浪希爾伯特的整個數學世界的形式化垮臺(盡管我很崇拜希爾伯特，我更敬佩哥德爾)，哥德爾的不完備性在整個科學理論界，從哲學到數學，從認知科學到生物科學，可以說是被“泛濫”地應用了。上次在W3C論壇看到一個討論關于能否讓計算機突破不完備性的限制，有位版主的回答很讓我思考了一下，他說不完備性限制的僅僅是形式系統，如果可以建立形式以外的系統，說不定就成功了。回過頭來，從哥德爾的理論產生的年代看起，其實有過不少類似的討論，只是我以前看的那些皮毛都是被人家轉述過的，怎么也得被中間人添加了些不同的東西。現在按照我閑暇時間的看書進度把我仔細閱讀歌德爾的傳記而理解的東西記錄下來，將來在參考一 下。 歌德爾去普林斯頓講學的時候還不是很出名(1934)，至少跟愛因斯坦比還差的遠。但是在普林斯頓，愛因斯坦經常跟歌德爾散步討論問題，他們也可以說是忘年交阿，據愛因斯坦的助手 Straus回憶，他們2個很不相同，卻建立了深厚友誼，對對方都是十分贊賞。歌德爾的思維在常人看來也是怪異的，估計這也和愛因斯坦本人對上號了。呵 呵，這里還記載了一則笑話。1953年愛因斯坦跟Straus說：“你知道不，歌德爾是完全瘋了。”Straus回答他說：“他還能更糟糕么？”愛因斯坦 說：“能，他居然投票給了艾森豪威爾”。 歌德爾在23歲那年就證明了后來轟動世界的不完備性理論，那年是1930。他的這一成就是與海森 堡的不確定理論，愛因斯坦的相對論三足鼎立的，一起撼動了整個純粹科學的根基。不完備性的出現對于數學領域是一個噩夢：數學不再是領悟宇宙和一切的語言， 不再是神的語言，而成為了20世紀科學界不確定思潮的一部分。在歌德爾的世界里，沒有任何東西的出現是偶然的；沒有哪個系統是建立在不變化的基礎上的；真 理都是虛構的。當時甚至有作家稱歌德爾是數學界的魔鬼。
哥德爾的世界 2 數學／科學的客觀性天才在常人看來都是瘋子。哥德爾在別人的眼中是固執而高傲的，而跟他關系最好的科學家就是愛因斯坦。有一次普林斯頓舉行晚宴，天體物理學家Bahcall自 我介紹給哥德爾時，告訴哥德爾他自己是物理學家，哥德爾淡淡回復了一句被后人視為他的名言之一的話：“我不相信自然科學”。確實，哥德爾痛恨的就是隨機的 東西，在邏輯的世界里，他要杜絕沒有規律的東西。哲學家Nagel回憶說哥德爾不相信進化論，因為他是極端的二元論者。哥德爾甚至跟Nagel說斯大林也 不相信進化論，但斯大林卻是很聰明的一個人，讓對方啞口無言。喬姆斯基（學編譯的都知道喬姆斯基文法，語言學家），呵呵，也嘗試過哥德爾的厲害。喬姆斯基 問哥德爾最近在忙什么，哥德爾的回信恐怕是自從17世紀萊布尼茨到當時都沒有人敢說的：“我在試圖證明自然界遵循先驗的規律。。。”愛因斯坦也說過哥德爾 是不相信經驗的，但是他和哥德爾的友誼確實最深厚的，他們兩人基本上除了對方外，不再跟其他科學家談話。 牛人總是喜歡和牛人呆一起。。。 愛因斯坦晚年去普林斯頓的辦公室，不過是為了能夠和哥德爾說說話 。而哥德爾在1955愛因斯坦逝世后基本上就不再跟什么人說話了。。。他那種學術流浪的感覺也達到頂峰（他1945年歸化了美國籍）。。。愛因斯坦跟哥德 爾一樣，執著而固執，他晚年思想開始保守，甚至一直不接受量子物理，因為究其本質，量子物理是隨機的。但是實際上量子物理只不過是他自己的相對論的邏輯外 延而已。。。不過更準確地說，愛因斯坦最特立獨行的是對主觀性的排斥：他的相對論不是對物理的主觀性解釋，而是獨立于人類的、主觀的時空觀的。他的相對論 不是作為事物的度量而提出的（這就是俺們普通人的時空觀和對相對論的應用，而實際上跟愛因斯坦自己的理解是不同的。。。）。他跟哥德爾一樣隸屬數學的柏拉 圖主義，對抗普羅塔哥拉主義（這個學派認為人才是一切事物的度量）。柏拉圖主義強調理論是獨立人類而存在的，不管人類研究不研究，它們總是存在的。可笑的是，還有人舉著他們兩的旗幟大肆攻擊客觀主義，顯然是啥都沒弄懂。。。愛因斯坦在晚年的時候轉而依靠哲學似的信仰來解脫自己的學術排斥感，這也是為什么他跟“怪人”哥德爾很有共性的原因吧。。。 哥 德爾的理論不是他的數學觀，而是他的哲學觀。這是一個令人乍舌的結論。但仔細想想，正是他的理論改變了邏輯和數學的許多領域。很顯然，我現在的研究方向， 一個邏輯的小領域，使用的模型理論就是哥德爾的證明中使用的。此外遞歸理論也是始于他的證明。很可惜的是，希爾伯特鼓吹的很多領域，在哥德爾理論中顯得那 么微不足道，以至于慢慢被遺棄了。悖論是推理中的暗礁，哥德爾的邏輯，甚至他自身就有悖論。。（實際上不少邏輯悖論都是因為自引用形成的，不信翻下悖論 集）然而正是這些悖論的巧妙應用在了他的證明里，這些引導我們從另外一個角度看待問題：人類的數學頭腦可以繞過人造系統的局限，而捕捉到了真理／知識／確 定性的本質！ 今天就寫這么多。。。以后就可以看到這位年輕的邏輯學家的不尋常的生平了。。。。 哥德爾的世界 3 維也納圈羅素，這位偉大的天才哲學家，數學家和文學家，發現的悖論，即：這個句子是錯誤的，同樣影響了理論數學的基石：集合論。很簡單，假設我們構建一個所有不屬于自身的集合的集合，那么這個集合是不是自身的一個元素？顯然，它是自身的元素僅當并且僅當它不屬于自身。。。先前就提到過悖論是推理中的暗礁，羅素發現的這一個暗礁就對當時的數學基礎給以重擊。更悲慘的是數理邏輯奠基人，邏輯大師弗萊格也深受其“害”，他老人家的不朽巨著“算術原理（德語是 Grundgesetze der Arithmetik，算術的基本法則）”剛剛問世就被羅素給他的一封信給擊倒了，因為弗萊格的這個算術系統也是基于集合論的，羅素寫信告訴他這個“完美 ”的系統確是有矛盾的，不一致的。弗萊格的系統足夠表述所有算術原理，但是它的不一致性恰恰是形式系統最壞的結局。為什么不一致性有如此的毀滅性？因為一個不一致的系統可以推理出任何結論，因此它也就等同于什么都沒有推出。為什么這么說？學過數理邏輯的都知道肯定前件的推理規則（英文中是Modus ponens，中文翻譯我也不知道怎么翻譯好，就叫肯定前件算了。。。），p -> q。這樣的命題只在P為真而q為假的情形下才是不成立的，換而言之，只要P是假的，那么一切結論q真假都無所謂，因為這個命題總是真的了。。。這就是為什么說矛盾的系統可以推理出任何結論。 基于羅素悖論和弗萊格的矛盾系統，羅素和他老師懷特海（whitehead，應該譯作白頭比較好，呵呵）就在他們的合著，大名鼎鼎的“數學原理Principia Mathematica”中另外構造了一個系統，把論域中所有的實體都加個序，小序的個體只能夠作為序大于它的個體的成員，這樣以來，集合就不能夠做自身的成員了，雖然它可以做集合的集合的成員（BTW，真是拗口）。所以羅素的悖論就不可能在系統中出現了。可是，這樣一個系統實際上并沒有任何理論支持，譬如為什么允許有的集合卻不允許另外一些集合。羅素他們的目的僅僅是為了防止羅素悖論，僅此而已。當然，結果是這個系統是一致的。另外這個系統中，康托（cantor，學計算復雜性的還記得他完美的對角化證明吧）的悖論也被禁止了。康托曾經證明了一個集合的子集之和（power set）肯定擁有比這個集合本身更大的基數。問題是，假設我們構造的集合是全集（universal set），即：所有集合構成的集合。很顯然，沒有哪個集合的基數會比全集還要大，除非這個世界瘋了。可是，按照康托的證明，全集的子集之和擁有比全集更大的基數。。。同樣，這個悖論也被排除在集合論之外。可以看出，當數學家們發現悖論又無可奈何的時候，他們只有添加一些莫名其妙的規則限制悖論。然而這樣的系統總是讓我感到一種危機感，而且是內部的危機啊。。。同樣，這樣的危機感也成為當時的哲學家們的研究熱點:居然還有羅素勛爵（他世襲的是子爵爵位）解決不了的，那可真值得一試啊～這一批人中就有后來成為著名哲學大師的維特根斯坦（因為他當時還不過是一個航空工程專業的本科生，為了羅素就跑到劍橋去學哲學）。不過，維特根斯坦跟羅素到了后來關系就冷淡了，羅素認為這個囂張的哲學家是：以路西法為驕傲。路西法是什么？路西法是魔王。可見維特根斯坦人格不是那么好，當然了，估計哲學家一般也都是這樣神經兮兮的。 說了這么多，他們跟哥德爾又有什么關系？和哥德爾一樣，這些人都是跟維也納圈有關系的大師。奧地利當時聚集了很多大師級別的人物，他們在大學邊上的咖啡屋里研討問題，另外一種形式就是按照不同研究興趣成立的Kreise，就是德語的圈的意思（Circle）。在這些圈當中，最有名之一的是維也納圈（Der-Wiener-Kreise），這個由哲學家Moritz Schlick(斯立克)創建的哲學圈也被稱為斯立克圈，只有受到邀請的人才可以參加例會座談。哥德爾在1926－1928年間以一個本科生的身份被邀請參加。這個圈子里的數學家漢斯（Hans Hahn）就是把斯立克從德國拉到維也納的人物，他的夫人Olga Neurath也是維也納圈的成員。漢斯在維也納圈利貢獻不小，他不僅向成員們介紹了弗萊格的理論，還給他們講解了羅素的巨著：數學原理全3卷， 值得注意的是，維也納圈當時盛行的是實證邏輯主義觀點（positivism）。1929年維也納圈出版的宣言就提出了“人是一切事物的度量，任何東西都是可以被人所企及的 ”。他們的觀點認為，數學跟邏輯類似，是沒有任何實質內容的，數學不過是語法上存在的（Syntactic）。參照前面就知道，這與數學的柏拉圖學派，也就是歌德爾所屬一派，的觀點是相反的。但是，這些宣言絲毫沒有刺激柏拉圖派的歌德爾，他反正是一言不發的，不會惹出什么亂子。接下來又回到維特根斯坦。這個囂張的德國人跑到劍橋大學得到羅素的青睞以后，立刻靠實力成為了劍橋最受人崇敬的哲學大師。可惜，維特根斯坦經常哀嘆他的那些劍橋同事和學生總是理解不了他的思想，夠囂張的。說到維特根斯坦，先說說另外一個天才魏寧格 ：Otto Weininger。這個心理有點bt的維也納哲學天才最大的毛病就是瞧不起女人和鼓吹成為天才，魏寧格的理論可以歸結為陰郁而殘酷的選擇：男人［沒女人什么事，坐著等死好了］要么成為天才，要么選擇死亡（genius or death）。維特根斯坦年輕的時候看了魏寧格的著作后，也變得神經兮兮，譬如維特根斯坦就想學他的偶像魏寧格那樣去自殺，結果一直嘗試自殺了9年，當然不如他的偶像厲害，魏寧格一槍就自殺成功了。維特根斯坦著名的，甚至有部分是在一次世界大戰的戰壕完成的邏輯哲學論Tractatus Logico - Philosophicus也對維也納圈有不可低估的影響。維特根斯坦回到維也納的時候，維也納圈的那些元老，包括斯立克，去跟維特根斯坦會談就像是去朝圣一樣，他們的思想隨時跟維特根斯坦保持一致，完全而徹底的個人崇拜。維也納圈的維特根斯坦信徒們甚至模仿維特根斯坦的舉手投足。從這里就可見個人崇拜的危害了，即使是腦子最能思考的哲學家到了瘋狂搞個人崇拜的時候，智商就降低到白癡的程度了。維特根斯坦就成為了維也納圈子的皇帝，跟他思想不吻合的哲學家先后被踢出去了。在膜拜維特根斯坦這尊神的維也納圈子里，學生歌德爾仍舊沉默寡言，靜靜地坐一邊，或吸收或淘汰這些思維，而得出了他自己劃時代的結論。 理性的世界，不完備的世界斷斷續續的，直到最近才看完了這本小書。本來不想再把歌德爾寫下去，可是看完了之后，心情太復雜了，仿佛有無數的想法，卻有沒有一個是可以真正地，準確地表達出來的。 一個繼亞里士多德以來世界上最偉大的哲學家，在1978年1月14日去世了。從他在朋友的幫助下，從煙火彌漫人性瘋狂的歐洲輾轉來到美國，成為美國公民開始，到他帶著遺憾，認為自己沒有實現他的目標葬入普林斯頓的墳墓，他的人生并沒有多大改觀。一個擁有知曉宇宙奧妙的天才的大腦，卻依附在一具比大多常人都柔弱的身體里。理性，知識和真理的思維卻始終沒有喚醒那些同時代的所謂的大科學家們，反而被有意無意地邊緣化，加深了他的孤獨和隔離感，直接或者間接導致了這位本來應當多產的天才哲學家，天才數學家，甚至天才物理學家沒有機會，沒有動力去尋求人生，真理和宇宙的秘密。他在普林斯頓的那些年，除了免受納粹德國的騷擾外，在我看來，也沒有得到任何其他的好處。 歌德爾的人生，按照著名華人邏輯學家Hao WANG的描述，在他自己看來就是一個不完備的人生。歌德爾自己打破了數學的神秘，同時期望找到真正的數學真實（reality），數學的正宗的基石。可是他沒有找到，或者說，由于許多的原因，他不能夠去找到。于是他期望自己在哲學的世界里找到這個物質世界的本質和原理。他經常羨慕柏拉圖，笛卡爾，還有胡塞爾這些哲學宗師在人生中有那么幾個瞬間突然開竅，看到了一個與我們凡人的肉眼中的物質世界大不相同的世界，或者說是他們都找到了新的看待世界的方法。但是，歌德爾沒有。直到他逝世，他也沒有等到他的靈光一現的時機。歌德爾在數學和哲學的世界里實現自己的人生理想以失敗而告終，而在物理學的世界里，他最終也還是沒有等待到他想要的結果。 普林斯頓的物理學家在歌德爾加入他們的討論后，才發現這位天才的數學家和哲學家居然掌握了如此多的物理理論。其實，歌德爾一直以來，幾乎是從他都大學開始，都是對物理十分喜好。估計再加上在普林斯頓的那些年，與他的忘年交愛因斯坦也經常談起物理學的一些理論，這位以嚴密推理著稱的哲學家絲毫沒有放棄和中斷物理學的熱愛。在愛因斯坦70大壽的時候，歌德爾給愛因斯坦寫了一篇慶祝他70大壽的文章。在文章中，歌德爾用一個他自己構造的全新的理論模型滿足了愛因斯坦的廣義相對論的場方程。稱這個模型為理論的，是因為在這樣一個模型 |
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