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如果數a能被數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做作a的約數．約數和倍數都表示一個數與另一個數的關系，不能單獨存在．如只能說16是某數的倍數，2是某數的約數，而不能孤立地說16是倍數，2是約數．
“倍”與“倍數”是不同的兩個概念，“倍”是指兩個數相除的商，它可以是整數、小數或者分數．“倍數”只是在數的整除范圍內，相對于“約數”而言的一個數字概念，表示的是能被某一個自然數整除的數，它必須是一個自然數． 幾個自然數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數．例如12，16的公約數有1，2，4，其中最大的一個是4，4是12與16的最大公約數，一般記為（12，16）=4．12，15，18的最大公約數是3，記為（12，15，18）=3． 常用的求最大公約數的方法是分解質因數法和短除法． 分解質因數法，把每個數分別分解質因數，再把各數中的全部公有質因數提取出來連乘，所得的積就是這幾個數的最大公約數．例如，求24和60的最大公約數．24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24與60的全部公有的質因數是2，2和3，它們的積是2×2×3=12，所以（24，60）=12． 短除法，先用這幾個數的公約數連續去除，一直除到所有的商互質為止，然后把所有的除數連乘起來，所得的積就是這幾數的最大公約數．例如，求24，48，60的最大的公約數．
（24，48，60）=2×3×2=12 幾個自然數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數．例如4的倍數有4，8，12，16，……，6的倍數有6，12，18，24，4和6的公倍數有12，24，……，其中最小的是12，一般記為[4，6]=12．12，15，18的最小公倍數是180，記為[12，15，18]=180． 常用的求最小公倍數的方法是分解質因數法和短除法． 分解質因數法，首先把這幾個數先分別分解質因數，再把各數中的全部公有的質因數和獨有的質因數提取出來連乘，所得的積就是這幾個數的最小公倍數．例如求6和15的最小公倍數．6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的質因數是3，6獨有質因數是2，15獨有質因數是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部質因數2和3，還包含了15的全部質因數3和5，且30是6和15的公倍數中最小的一個，所以[6，15]=30． 短除法，先用這幾個數的公約數去除每一個數，再用部分數的公約數去除，并把不能整除的數移下來，一直除到所得的商中每兩個數都是互質數為止，然后把所有的除數和商連乘起來，所得的積就是這幾個數的最小公倍數．例如求12，15，18的最小公倍數．
[12，15，18]=3×2×2×5×3=180 在解有關最大公約數、最小公倍數的問題時，常用到以下結論： （1）如果兩個數是互質數，那么它們的最大公約數是1，最小公倍數是這兩個數的乘積． 例如8與9，它們是互質數，所以（8，9）=1，[8，9] =72． （2）如果兩個數中，較大數是較小數的倍數，那么較小數就是這兩個數的最大公約數，較大數就是這兩個數的最小公倍數． 例如18與3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18． （3）兩個數分別除以它們的最大公約數，所得的商是互質數． 例如8和14分別除以它們的最大公約數2，所得的商分別為4和7，那么4和7是互質數． （4）兩個數的最大公約數與它們的最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積． 例如12和16，（12，16）=4，[12，16]=48，有4×48=12×16． 下面討論有關最大公約數、最小公倍數的問題． 例1 將長200厘米，寬120厘米，厚40厘米的長方體木料鋸成同樣大小的正方體木塊，而沒有剩余，共有多少種不同的鋸法？當正方體的邊長是多少時，鋸成的小木塊的體積最大，共有多少塊？ 分析：由題意知，鋸成的小正方體的邊長應能整除200，120和40，也就是說，小正方體的邊長是這三個數的公約數，得出的不同的公約數的個數就代表有多少種不同的鋸法．另外要求鋸成的小木塊的體積最大時的正方體的邊長，只要使小正方體的邊長為最大就行了，即求200，120和40的最大公約數．最后可求得鋸的塊數。 解： 
40的約數個數為（3+1）×（1+1）=8 鋸的塊數（200÷40）×（120÷40）×（40÷40）=5×3×1=15 答：共有8種鋸法，當正方體的邊長是40厘米時，鋸成的小木塊的體積最大，共有15塊． 例2 求1300到1400玻璃球數，使之分別按三個三個數，四個四個數，五個五個數，六個六個數，最后都差一個，改為七個七個數時，正好數完． 分析：這個數必然是3，4，5，6的公倍數差1，而又是7的倍數．3，4，5，6的最小的公倍數是60，因此這個數可表示為60K—1（K是自然數）．當K=1時，60×1-1=59，被7除余3；當K=2時，60×2-1=119，被7整除．符合三個三個數，四個四個數，五個五個數，最后都差一個，且七個七個數，正好數完，但所求數要求在1300至1400之間，只要在119基礎上，增加3，4，5，6，7的最小公倍數的整數倍就可得到所求． 解：因為（3，4，5，6）=60，因此這個數可表示為60K-1（K是自然數），當K=2時，60×2-1=119能被7整除；又（3，4，5，6，7）=420，所以這個數可表示為119+420m（m是自然數），當m=3時，119＋420×3=1359，1359即為所求． 例3 兩個數的最大公約數是15，最小公倍數是360，且這兩個數相差75，求這兩個數． 分析：根據最大公約數、最小公倍數的定義，360÷15=24，24是所求的兩個數它們各自獨有的不同的約數的乘積，并且它們的這兩個約數必然互質，即用所求的兩個數的最大公約數分別除這兩個數所得的商的積等于24，且24必是兩個互質數的乘積，很容易得到24=1×24=3×8，1與24，3與8分別互質，這樣得到兩組解： 15×1=15，15×24=360；15×3=45，15×8=120；且120-45=75，得到了問題的解． 解：因為360÷15=24，24=1×24=3×815×1=15，15×24=360；15×3=45，15×8=120；且120-45=75 所以這兩個數分別為45，120． 例4 試用2，3，4，5，6，7六個數字組成兩個三位數，使這兩個三位數與540的最大公約數盡可能大？ 分析：因為540=22×33×5，而2，3，4，5，6，7中只有一個5，因此這六個數字組成的兩個三位數中不會有公約數5，所以這兩個三位數與540的最大公約數只可能為22×33=108，再進行試驗，108×2=216，216中1不是已知數字，108×3=324，還剩5，6，7三個數字，而108×7=756，于是問題得到解決． 解：因為540=22×33×5，所以2，3，4，5，6，7這六個數組成的兩位數與540的最大公約數只可能為22×33=108，經試驗得到108×3=324，108×7=756，所以324，756即為所求． 例5 在800米的環島上，每隔50米插一面彩旗，后來又增加了一些彩旗，就把彩旗的間隔縮短了，起點的彩旗不動，重新插完后發現，一共有4根彩旗沒動，問現在的彩旗間隔多少米？ 分析：800米環島每隔50米插一面彩旗，共插800÷50=16根，重新插完后，有4根沒動，而這4根中的任意相鄰的兩根間的距離為50×（16÷4）=200米，重新插完后每相鄰的兩根彩旗間的距離與50的最小公倍數是200，并且這個距離一定小于50米，把符合這樣條件的數求出來即為所求． 解：因為800÷50＝16（根），重新插完后，在這4根不動的彩旗中，任意相鄰的兩根間的距離為：50×（16÷4）=200米，重新插后，任意相鄰兩根的距離為a米，則[a，50］=200，且a＜50．又因為200=23×52，50＝2×52，根據最小公倍數的定義，a=23或23×5，即現在的彩旗間隔是8米或40米． |
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