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第三講 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù) 一、基本概念和知識 1.公約數(shù)和最大公約數(shù) 幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。 例如：12的約數(shù)有：1，2，3，4，6，12； 18的約數(shù)有：1，2，3，6，9，18。 12和18的公約數(shù)有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公約數(shù)，記作（12，18）=6。 2.公倍數(shù)和最小公倍數(shù) 幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。 例如：12的倍數(shù)有：12，24，36，48，60，72，84，? 18的倍數(shù)有：18，36，54，72，90，? 12和18的公倍數(shù)有：36，72，?.其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作[12，18]=36。 3.互質數(shù) 如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么這兩個數(shù)叫做互質數(shù)。 二、例題 例1 用一個數(shù)去除30、60、75，都能整除，這個數(shù)最大是多少？ 分析 ∵要求的數(shù)去除30、60、75都能整除， ∴要求的數(shù)是30、60、75的公約數(shù)。 又∵要求符合條件的最大的數(shù)， ∴就是求30、60、75的最大公約數(shù)。 （30，60，75）=533=15 這個數(shù)最大是15。 例2 一個數(shù)用3、4、5除都能整除，這個數(shù)最小是多少？ 分析 由題意可知，要求的數(shù)是3、4、5的公倍數(shù)，且是最小的公倍數(shù)。 解：∵［3，4，5］=33435=60， ∴用3、4、5除都能整除的最小的數(shù)是60。 例3 有三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米和300厘米.現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？一共可以截成多少段？ 分析 ∵要截成相等的小段，且無剩余， ∴每段長度必是120、180和300的公約數(shù)。 又∵每段要盡可能長， ∴要求的每段長度就是120、180和300的最大公約數(shù). （120，180，300）=3032=60 ∴每小段最長60厘米。 120÷60+180÷60+300÷60 =2＋3＋5=10（段） 答：每段最長60厘米，一共可以截成10段。 例4 加工某種機器零件，要經(jīng)過三道工序.第一道工序每個工人每小時可完成3個零件，第二道工序每個工人每小時可完成10個，第三道工序每個工人每小時可完成5個，要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人？ 分析 要使加工生產(chǎn)均衡，各道工序生產(chǎn)的零件總數(shù)應是3、10和5的公倍數(shù).要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍數(shù)。 ［3，10，5］=53332=30 ∴各道工序均應加130個零件。 30÷3=10（人） 30÷10=3（人） 30÷5=6（人） 答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。 例5 一次會餐供有三種飲料.餐后統(tǒng)計，三種飲料共用了65瓶；平均每2個人飲用一瓶A飲料，每3人飲用一瓶B飲料，每4人飲用一瓶C飲料.問參加會餐的人數(shù)是多少人？ 分析 由題意可知，參加會餐人數(shù)應是2、3、4的公倍數(shù)。 解：∵[2，3，4]=12 ∴參加會餐人數(shù)應是12的倍數(shù)。 又∵12÷2+12÷3+12÷4 =6+4+3=13（瓶）， ∴可見12個人要用6瓶A飲料，4瓶B飲料，3瓶C飲料，共用13瓶飲料。 又∵65÷13=5， ∴參加會餐的總人數(shù)應是12的5倍， 1235=60（人）。 答：參加會餐的總人數(shù)是60人。 例6 一張長方形紙，長2703厘米，寬1113厘米.要把它截成若干個同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大.問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？ 分析 由題意可知，正方形的邊長即是2703和1113的最大公約數(shù).在學校，我們已經(jīng)學過用短除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，但有時會遇到類似此題情況，兩個數(shù)除了1以外的公約數(shù)一下不好找到.但又不能輕易斷定它們是互質數(shù).怎么辦？在此，我們以例6為例介紹另一種求最大公約數(shù)的方法。 對于例6，可做如下圖解： 從圖中可知：在長2703厘米、寬1113厘米的長方形紙的一端，依次裁去以寬（1113厘米）為邊長的正方形2個.在裁后剩下的長1113厘米，寬477厘米的長方形中，再裁去以寬（477厘米）為邊長的正方形2個.然后又在裁剩下的長方形（長477厘米，寬159厘米）中，以159厘米為邊長裁正方形，恰好裁成3個，且無剩余.因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的約數(shù).所以裁成同樣大的，且邊長盡可能長的正方形的邊長應是159厘米.所以，159厘米是2703和1113的最大公約數(shù)。 讓我們把圖解過程轉化為計算過程，即： 2703÷1113，商2余477； 1113÷477，商2余159； 477÷159，商3余0。 或者寫為 2703=231113+477， 1113=23477+159， 477=33159。 當余數(shù)為0時，最后一個算式中的除數(shù)159就是原來兩個數(shù)2703和1113的最大公約數(shù). 可見，477=15933， 1113=1593332+159=15937， 2703=1593732+477 =1593732+15933=159317。 又∵7和17是互質數(shù)， ∴159是2703和1113的最大公約數(shù)。 我們把這種求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉相除法.輾轉相除法的優(yōu)點在于它能在較短的時間內求出任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)。 例7 用輾轉相除法求4811和1981的最大公約數(shù)。 解：∵4811=231981+849， 1981=23849+283， 849=33283， ∴（4811，1981）=283。 補充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結果.也可以直接觀察，依次試公有的質因數(shù)。 例8 求1008、1260、882和1134四個數(shù)的最大公約數(shù)是多少？ 解：∵（1260，1008）=252， （882，1134）=126， 6）=126， ∴（1008，1260，882，1134）=126。 求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？請看例9. 例9 兩個數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個數(shù)是28，另一個數(shù)是多少？ ∴x=43y28=437 ∴28x=43y3437 又∵4是x和28的最大公約數(shù)，（y，7）=1， ∴43y37是x和28的最小公倍數(shù)。 ∴x328=43252 ∴x=43252÷28=36 ∴要求的數(shù)是36。 通過例9的解答過程，不難發(fā)現(xiàn)：如果用a和b表示兩個自然數(shù)，那么這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關系是： （a，b）3[a，b]=a3b。 這樣，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的問題，即可轉化成先求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再用最大公約數(shù)除兩個數(shù)的積，其結果就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。 例10 求21672和11352的最小公倍數(shù)。 解：∵（21672，11352）=1032 （1032可以用輾轉相除法求得） ∴[21672，11352]=21672311352÷1032 =238392。 答：21672和11352的最小公倍數(shù)是238392. 習題三 1.甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是54，甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？ 2.一塊長方形地面，長120米，寬60米，要在它的四周和四角種樹，每兩棵之間的距離相等，最少要種樹苗多少棵？每相鄰兩棵之間的距離是多少米？ 3.已知兩個自然數(shù)的積是5766，它們的最大公約數(shù)是31.求這兩個自然數(shù)。 4.兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同時在十月一日回家，下一次三人再見面是哪一天？ 5.將長25分米，寬20分米，高15分米的長方體木塊鋸成完全一樣的盡可能大的立方體，不能有剩余，每個立方體的體積是多少？一共可鋸多少塊？ 6.一箱地雷，每個地雷的重量相同，且都是超過1的整千克數(shù)，去掉箱子后地雷凈重201千克，拿出若干個地雷后，凈重183千克.求一個地雷的重量？ |
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