約數與倍數第二冊第六課約數與倍數

詩書之華 2011-07-29

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第二冊 第六課

＋、－、×、÷、a b c d

[課前輔導]：

約數與倍數問題在日常生活中的應用非常廣泛，近年來公務員考試中亦是比較常見的題型，計算起來比較簡單些，但在當前社會經濟中到處都用得著。看似簡單實際深入鉆研就會感到它其實是一門經常的學問：例如統計學中的相對數，指數，相關關系等都要用到它。在小學數學中必須弄清它們的概念及其異同區別，學會運算中的快速方法，為今后應用時打下良好基礎。

（一）約數與倍數的相互依存關系

約數與倍數是建立在除法整除基礎上，首先要理解整除概念，即被除數÷除數=商數，沒有余數。約數和倍數都表示一個數與另一個數的關系，不能單獨存在．如只能說16是某數的倍數，2是某數的約數，而不能孤立地說16是倍數，2是約數．

（二）“倍”與“倍數”是不同的兩個概念

“倍”是指兩個數相除的商，它可以是整數、小數或者分數．“倍數”只能在數的整除范圍內，相對于“約數”而言的一個數字概念，表示的是能被某一個自然數整除的數，它必須是一個自然數．

可以說8是4的2倍，8是4的倍數；而0.8可以說是0.4的兩倍，但不能說0.8是0。4的倍數，因為0.8和0.4它們不是整數。從而進一步理解和掌握約數與倍數是建立在整除基礎上的本質。

（三） 約數與倍數的定義

如果一個自然數能被自然數整除，則被除數稱為倍數，除數及商數則是被除數的一對約數，進而發現被除數的約數可以一對一對的找。

例1．如被除數為60，它的約數可以一對一對的找到6對

[1，60]；[2，30]；[3，20]；[4，15] ；[5，12]；[6，10] = 60．

因為它們相乘都是60，所以每對都是（倍數）被除數的約數。

幾個自然數公有的約數，叫作這幾個數的公約數。

公約數中最大的一個公約數，稱為這幾個數的最大公約數。

幾個自然數公有的倍數，叫作這幾個數的公倍數。

公倍數中最小的一個公倍數，稱為這幾個數的最小公倍數。

（四）常用的求最大公約數的方法是分解質因數法和短除法．

1．分解質因數法：把每個數分別分解質因數，再把各數中的公有質因數提取出來連乘，所得的積就是這幾個數的最大公約數．

例2，求24和60的最大公約數．24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24與60的全部公有的質因數是2，2和3，它們的積是2×2×3=12，所以（24，60）=12．

2．短除法：先用這幾個數的公約數連續去除，一直除到所有的商無公約數為止，然后把所有的除數連乘起來，所得的積就是這幾數的最大公約數．

例3．求24，48，60的最大的公約數與最小公倍數？

先求24，48，60的最大公約數？

　4┖24 48 60

　3┖ 6 12 15

　 2 4 5

答最大公約數：兩個除4×3=12。

再求24，48，60的最小公倍數？

　4┖24 48 60

　3┖ 6 12 15

　 2┖2 4 5

1 2 5

答最小公倍數：4×3×2×1×2×5=240。

解釋：用短除法求最小公倍數只要在求出最大公約數的基礎上，再檢查各數余數中是否全部都是互質數，如果還有公約數，則繼續提取，求最小公倍數與求最大公約數不同之處在于，求最大公約數的各個余數中只要任何二個余數還有公約數就應繼續提取；例如上面三個余數2，4，5中2與4再可商2，剩下1，2，5中已沒有公約數，然后全部商、余相乘，其乘積就是最小公倍數。

（五）用輾轉相除法求兩個數的最大公約數

在中國古代就有一個很好的算法來計算a,b的最大公約數（a,b）,稱為輾轉相除法，在西方稱為Euclid(歐幾里得)算法。

下面通過計算（1397，2413）來闡述這一算法。

例4．求（1397，2413）的整個計算過程為：

2413÷1397=1……1016，

1397÷1016=1……381，

1016÷381=2……254，

381÷254=1……127，

254÷127=2……0，

答案：（1397，2413）=127。

解釋：我們用這兩個數1397和2413中兩個數中小的去除大的，得商為1，余數為1016。將原來兩個數中大的2413扔掉，將1397作為大數，將余數1016作為新的小數。重復上面的過程：用1016去除1397，得商為1，余數為381。扔掉1397，將381作為除數，1016作為被除數。用381去除1016，得商為2余數為254，扔掉1016，用254 去除381，得商為1 ，余數為127，再扔掉381，用127去除254，發現能整除，于是127就是最大公約數。