第21講 用等量代換求面積
一個量可以用它的等量來代替；被減數和減數都增加（或減少）同一個數，它們的差不變。前者是等量公理，后者是減法的差不變性質。這兩個性質在解幾何題時有很重要的作用，它能將求一個圖形的面積轉化為求另一個圖形的面積，或將兩個圖形的面積差轉化為另兩個圖形的面積差，從而使隱蔽的關系明朗化，找到解題思路。
例1兩個相同的直角三角形如下圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積。
分析與解：陰影部分是一個高為3厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知道，因而不能直接求出它的面積。因為三角形ABC與三角形DEF完全相同，都減去三角形DOC后，根據差不變性質，差應相等，即陰影部分與直角梯形OEFC面積相等，所以求陰影部分的面積就轉化為求直角梯形OEFC的面積。直角梯形OEFC的上底為10-3=7（厘米），面積為（7+10）×2÷2=17（厘米2）。
所以，陰影部分的面積是17厘米2。
例2在右圖中，平行四邊形ABCD的邊BC長10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10厘米2，求平行四邊形ABCD的面積。
分析與解：因為陰影部分比三角形EFG的面積大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根據差不變性質，所得的兩個新圖形的面積差不變，即平行四邊行ABCD比直角三角形ECB的面積大10厘米2，所以平行四邊形ABCD的面積等于
10×8÷2+10=50（厘米2）。
例3在右圖中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面積大18厘米2。求ED的長。
分析與解：求ED的長，需求出EC的長；求EC的長，需求出直角三角形ECB的面積。因為三角形AFB比三角形EFD的面積大18厘米2，這兩個三角形都加上四邊形FDCB后，其差不變，所以梯形ABCD比三角形ECB的面積大18厘米2。也就是說，只要求出梯形ABCD的面積，就能依次求出三角形ECB的面積和EC的長，從而求出ED的長。
梯形ABCD面積=（8+4）×6÷2=36（厘米2），
三角形ECB面積=36-18=18（厘米2），
EC=18÷6×2=6（厘米），
ED=6-4=2（厘米）。
例4 下頁上圖中，ABCD是7×4的長方形，DEFG是10×2的長方形，求三角形BCO與三角形EFO的面積之差。
分析：直接求出三角形BCO與三角形EFO的面積之差，不太容易做到。如果利用差不變性質，將所求面積之差轉化為另外兩個圖形的面積之差，而這兩個圖形的面積之差容易求出，那么問題就解決了。
解法一：連結B，E（見左下圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形BEO，則原來的問題轉化為求三角形BEC與三角形BEF的面積之差。所求為4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
解法二：連結C，F（見右上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形CFO，則原來的問題轉化為求三角形BCF與三角形ECF的面積之差。所求為4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。
解法三：延長BC交GF于H（見下頁左上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上梯形COFH，則原來的問題轉化為求三角形BHF與矩形CEFH的面積之差。所求為（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3。
解法四：延長AB，FE交于H（見右上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上梯形BHEO，則原來的問題轉化為求矩形BHEC與直角三角形BHF的面積之差。所求為4×（10-7）-（10-7）×（4+2）÷2=3。
例5左下圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是4厘米，求三角形ABC的面積。
分析與解：這道題似乎缺少大正方形的邊長這個條件，實際上本題的結果與大正方形的邊長沒關系。連結AD（見右上圖），可以看出，三角形ABD與三角形ACD的底都等于小正方形的邊長，高都等于大正方形的邊長，所以面積相等。因為三角形AFD是三角形ABD與三角形ACD的公共部分，所以去掉這個公共部分，根據差不變性質，剩下的兩個部分，即三角形ABF與三角形FCD面積仍然相等。根據等量代換，求三角形ABC的面積等于求三角形BCD的面積，等于4×4÷2=8（厘米2）。
練習21
1.左下圖中，等腰直角三角形ABC的腰為10厘米，以C為圓心、CF為半徑畫弧線EF，組成扇形CEF。如果圖中甲、乙兩部分的面積相等，那么扇形所在的圓的面積是多少？
2.右上圖（單位：厘米）是兩個相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積。
3.左下圖中，扇形ABD的半徑是4厘米，甲比乙的面積大3.44厘米2。求直角梯形ABCD的面積。（π=3.14）
4.在右上圖的三角形中，D，E分別是所在邊的中點，求四邊形ADFE的面積。
5.下頁左上圖中，矩形ABCD的邊AB為4厘米，BC為6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面積大9厘米2，求ED的長。
6.右上圖中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面積大2厘米2，求CD的長。 影部分的面積和。
