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洛必達法則 設 (1)當x→a時，函數f(x)及F(x)都趨于零； (2)在點a的去心鄰域 (3)當x→a時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那么 x→a時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 再設 (1)當x→∞時，函數f(x)及F(x)都趨于零； (2)當|x|>N時f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0； (3)當x→∞時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那么 x→∞時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意： ①在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足0/0 ②若條件符合，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止。 ③洛必達法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達法則，往往計算會十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結合，比如及時將非零極限的乘積因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等等. 泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函數 f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),這里ξ在x和x.之間，該余項稱為拉格朗日型的余項。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘。） 證明 我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根據拉格朗日 P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 來近似地表示函數f(x)且要寫出其誤差f(x)-P(x)的具體表達式。設函數P(x)滿足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。顯然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多項的各項系數都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 接下來就要求誤差的具體表達式了。設Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根據柯西中值定理 f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),這里0<θ<1。 證明：如果我們要用一個多項式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n來近似表示函數f(x)且要獲得其誤差的具體表達式，就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當x.=0時的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1) 由于ξ在0到x之間，故可寫作θx，0<θ<1。 麥克勞林展開式的應用 ： 1、展開三角函數y=sinx和y=cosx。 解：根據導數表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx…… 于是得出了周期規律。分別算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0…… 最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（這里就寫成無窮級數的形式了。） 類似地，可以展開y=cosx。 2、計算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。 解：對指數函數y=e^x運用麥克勞林展開式并舍棄余項： e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n! 當x=1時，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n! 取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。 3、歐拉公式：e^ix=cosx+isinx（i為-1的開方，即一個虛數單位） 證明：這個公式把復數寫為了冪指數形式，其實它也是由麥克勞林展開式確切地說是麥克勞林級數證明的。過程具體不寫了，就把思路講一下：先展開指數函數e^z，然后把各項中的z寫成ix。由于i的冪周期 泰勒展開式原理 e的發現始于微分,當 h 逐漸接近零時,計算 之值,其結果無限接近一定值 2.71828...,這個定值就是 e,最早發現此值的人是瑞士著名數學家歐拉,他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數. 計算對數函數 的導數,得 ,當 a=e 時, 的導數為 ,因而有理由使用以 e 為底的對數,這叫作自然對數. 若將指數函數 ex 作泰勒展開,則得 以 x=1 代入上式得 此級數收斂迅速,e 近似到小數點后 40 位的數值是 將指數函數 ex 擴大它的定義域到復數 z=x+yi 時,由 透過這個級數的計算,可得 由此,De Moivre 定理,三角函數的和差角公式等等都可以輕易地導出.譬如說,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i, 另方面, 所以, 我們不僅可以證明 e 是無理數,而且它還是個超越數,即它不是任何一個整系數多項式的根,這個結果是 Hermite 在1873年得到的. 甲)差分. 考慮一個離散函數(即數列) R,它在 n 所取的值 u(n) 記成 un,通常我們就把這個函數書成 或 (un).數列 u 的差分 還是一個數列,它在 n 所取的值以定義為 以后我們干脆就把 簡記為 (例):數列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分數列為 3, 4, -1, -1, -8 ... 注:我們說「數列」是「定義在離散點上的函數」如果在高中,這樣的說法就很惡劣.但在此地,卻很恰當,因為這樣才跟連續型的函數具有完全平行的類推. 差分算子的性質 (i) [合稱線性] (ii) (常數) [差分方程根本定理] (iii) 其中 ,而 (n(k) 叫做排列數列. (iv) 叫做自然等比數列. (iv)' 一般的指數數列(幾何數列)rn 之差分數列(即「導函數」)為 rn(r-1) (乙).和分 給一個數列 (un).和分的問題就是要算和 . 怎么算呢 我們有下面重要的結果: 定理1 (差和分根本定理) 如果我們能夠找到一個數列 (vn),使得 ,則 和分也具有線性的性質: 甲)微分 給一個函數 f,若牛頓商(或差分商) 的極限 存在,則我們就稱此極限值為 f 為點 x0 的導數,記為 f'(x0) 或 Df(x),亦即 若 f 在定義區域上每一點導數都存在,則稱 f 為可導微函數.我們稱 為 f 的導函數,而 叫做微分算子. 微分算子的性質: (i) [合稱線性] (ii) (常數) [差分方程根本定理] (iii) Dxn=nxn-1 (iv) Dex=ex (iv)' 一般的指數數列 ax 之導函數為 (乙)積分. 設 f 為定義在 [a,b] 上的函數,積分的問題就是要算陰影的面積.我們的辦法是對 [a,b] 作分割: ;其次對每一小段 [xi-1,xi] 取一個樣本點 ;再求近似和 ;最后再取極限 (讓每一小段的長度都趨近于 0). 若這個極限值存在,我們就記為 的幾何意義就是陰影的面積. (事實上,連續性也「差不多」是積分存在的必要條件.) 積分算子也具有線性的性質: 定理2 若 f 為一連續函數,則 存在.(事實上,連續性也「差不多」是積分存在的必要條件.) 定理3 (微積分根本定理) 設 f 為定義在閉區間 [a,b] 上的連續函數,我們欲求積分 如果我們可以找到另一個函數 g,使得 g'=f,則 注:(1)(2)兩式雖是類推,但有一點點差異,即和分的上限要很小心! 上面定理1及定理3基本上都表述著差分與和分,微分與積分,是兩個互逆的操作,就好像加法與減法,乘法與除法是互逆的操作一樣. 我們都知道差分與微分的操作比和分與積分簡單多了,而上面定理1及定理3告訴我們,要計算 (un) 的和分及 f 的積分,只要去找另一個 (vn) 及 g 滿足 , g'=f (這是差分及微分的問題),那么對 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.換句話說,我們可以用較簡單的差分及微分操作來掌握較難的和分及積分操作,這就是"以簡御繁"的精神.牛頓與萊布尼慈對微積分最大的貢獻就在此. 甲)Taylor展開公式 這分別有離散與連續的類推.它是數學中「逼近」這個重要想法的一個特例.逼近想法的意思是這樣的:給一個函數 f,我們要研究 f 的行為,但 f 本身可能很復雜而不易對付,于是我們就想法子去找一個較「簡單」的函數 g,使其跟 f 很「靠近」,那么我們就用 g 來取代 f.這又是以簡御繁的精神表現.由上述我們看出,要使用逼近想法,我們還需要澄清 兩個問題:即如何選取簡單函數及逼近的尺度. (一) 對于連續世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是選取多項函數作為簡單函數,并且用局部的「切近」作為逼近尺度.說得更明白一點,給一個直到到 n 階都可導微的函數 f,我們要找一個 n 次多項函數 g,使其跟 f 在點 x0 具有 n 階的「切近」,即 ,答案就是 此式就叫做 f 在點 x0 的 n 階 Taylor 展式. g 在 x0 點附近跟 f 很靠近,于是我們就用 g 局部地來取代 f.從而用 g 來求得 f 的一些局部的定性行為.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.當f是足夠好的一個函數,即是所謂解析的函數時,則 f可展成 Taylor 級數,而且這個 Taylor 級數就等于 f 自身. 值得注意的是,一階 Taylor 展式的特殊情形,此時 g(x)=f(x0）+f'(x0)(x-x0) 的圖形正好是一條通過點 (x0,f(x0)) 而且切于 f 的圖形之直線.因此 f 在點 x0 的一階 Taylor 展式的意義就是,我們用過點 (x0,f(x0)) 的切線局部地來取代原來 f 曲線.這種局部化「用平直取代彎曲」的精神,是微分學的精義所在. 利用 Taylor 展式,可以幫忙我們做很多事情,比如判別函數的極大值與極小值,求積分的近似值,作函數表(如三角函數表,對數表等),這些都是意料中事.事實上,我們可以用逼近的想法將微積分「一以貫之」. 復次我們注意到,我們選取多項函數作為逼近的簡單函數,理由很簡單:在眾多初等函數中,如三角函數,指數函數,對數函數,多項函數等,從算術的觀點來看,以多項函數最為簡單,因為要計算多項函數的值,只牽涉到加減乘除四則運算,其它函數就沒有這么簡單. 當然,從別的解析觀點來看,在某些情形下還另有更有用更重要的簡單函數.例如,三角多項式,再配合上某種逼近尺度,我們就得到 Fourier 級數展開,這在應用數學上占有舉足輕重的地位.(事實上,Fourier 級數展開是采用最小方差的逼近尺度,這在高等數學中經常出現,而且在統計學中也有應用.) 注:取 x0=0 的特例,此時 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不過只要會做特例的展開,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或變數代換)就好了.因此我們大可從頭就只對 x=0 點作 Taylor 展式. (二) 對于離散的情形,Taylor 展開就是: 給一個數列 ,我們要找一個 n 次多項式數列 (gt),使得 gt 與 ft 在 t=0 點具有 n 階的「差近」.所謂在 0 點具有 n 階差近是指: 答案是 此式就是離散情形的 Maclaurin 公式. 乙)分部積分公式與Abel分部和分公式的類推 (一) 分部積分公式: 設 u(x),v(x) 在 [a,b] 上連續,則 (二) Abel分部和分公式: 設(un),(v)為兩個數列,令 sn=u1+......+un,則 上面兩個公式分別是萊布尼慈導微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv),及萊布尼慈差分公式 的結論.注意到,這兩個萊布尼慈公式,一個很對稱,另一個則不然. (丁)復利與連續復利 (這也分別是離散與連續之間的類推) (一) 復利的問題是這樣的:有本金 y0,年利率 r,每年復利一次,要問 n 年后的本利和 yn= 顯然這個數列滿足差分方程 yn+1=yn(1+r) 根據(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 這就是復利的公式. (二) 若考慮每年復利 m 次,則 t 年后的本利和應為 令 ,就得到連續復利的概念,此時本利和為y(t)=y0ert 換句話說,連續復利時,t 時刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答. 由上述我們看出離散復利問題由差分方程來描述,而連續復利的問題由微分方程來描述.對于常系數線性的差分方程及微分方程,解方程式的整個要點就是疊合原理,因此求解的辦法具有完全平行的類推. (戊)Fubini 重和分定理與 Fubini 重積分定理(也是離散與連續之間的類推) (一) Fubini 重和分定理:給一個兩重指標的數列 (ars),我們要從 r=1 到 m,s=1到 n, 對 (ars) 作和 ,則這個和可以這樣求得:光對 r 作和再對 s 作和(反過來亦然).亦即我們有 (二)Fubini 重積分定理:設 f(x,y) 為定義在 上之可積分函數,則 當然,變數再多幾個也都一樣. (己)Lebesgue 積分的概念 (一) 離散的情形:給一個數列 (an),我們要估計和 ,Lebesgue 的想法是,不管這堆數據指標的順序,我們只按數值的大小來分堆,相同的分在一堆,再從每一堆中取一個數值,乘以該堆的個數,整個作和起來,這就得到總和. (二)連續的情形:給一個函數 f,我們要定義曲線 y=f(x) 跟 X 軸從 a 到 b 所圍出來的面積. Lebesgue 的想法是對 f 的影域 作分割: 函數值介 yi-1 到 yi 之間的 x 收集在一齊,令其為 , 于是 [a,b] 就相應分割成 ,取樣本點 ,作近似和 讓影域的分割加細,上述近似和的極限若存在的話,就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 積分. 余項 泰勒余項可以寫成以下幾種不同的形式： 1.佩亞諾(Peano)余項： Rn(x) = o((x-a)^n) 2.施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche)余項： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p) [f(n+1)是f的n+1階導數，θ∈(0,1)] 3.拉格朗日(Lagrange)余項： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)! [f(n+1)是f的n+1階導數，θ∈(0,1)] 4.柯西(Cauchy)余項： Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n! [f(n+1)是f的n+1階導數，θ∈(0,1)] 5.積分余項： Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的積分]/n! [f(n+1)是f的n+1階導數] 也叫Cauchy中值定理。 則至少存在一點,ξ∈(a,b),使f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]成立 幾何意義 若令u=f(x),v=g(x)，這個形式可理解為參數方程 當柯西中值定理中的g(x)=x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 證明 令F(x)=f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)/[g(a)-g(b)] ∵F(a)=F(b)=[f(a)g(b)-f(b)g(a)]/[g(b)-g(a)] 由羅爾定理 又知F'(x)=f'(x)-[f(a)-f(b)]g'(x)/[g(a)-g(b)] 故f'(ξ)-[f(a)-f(b)]g'(ξ)/[g(a)-g(b)]=0 即f'(ξ)/g'(ξ)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)] 命題得證。 羅爾定理  如果函數f(x)滿足： 在閉區間[a,b]上連續； 在開區間(a,b)內可導； 其中a不等于b； 在區間端點處的函數值相等，即f(a)=f(b)， 那么在區間(a,b)內至少存在一點ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0. 羅爾定理的三個已知條件的直觀意義是：f(x)在[a,b]上連續表明曲線連同端點在內是無縫隙的曲線；f(x)在內(a,b)可導表明曲線y=f(x)在每一點處有切線存在；f(a)=f(b)表明曲線的割線（直線AB）平行于x軸.羅爾定理的結論的直觀意義是：在(a,b)內至少能找到一點ξ，使f'(ξ)=0，表明曲線上至少有一點的切線斜率為0，從而切線平行于割線AB，也就平行于x軸 |
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