啥是傅立葉級(jí)數(shù)？在數(shù)學(xué)中，傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier series）是把類似波的函數(shù)表示成簡(jiǎn)單正弦波的方式。更正式地說(shuō)法是，它能將任何周期性函數(shù)或周期信號(hào)分解成一個(gè)（可能由無(wú)窮個(gè)元素組成的）簡(jiǎn)單振蕩函數(shù)的集合，即正弦函數(shù)和余弦函數(shù)（或者，等價(jià)地使用復(fù)指數(shù)），從數(shù)學(xué)的定義來(lái)看，是這樣地： 設(shè)x(t)是一周期信號(hào),其周期為T(mén)。若x(t)在一個(gè)周期的能量是有限的，有即 則，可以將x(t)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)。怎么展開(kāi)呢？計(jì)算如下： 公式中的k表示第k次諧波，這是個(gè)什么概念呢？不容易理解，看下對(duì)于一個(gè)方波的前4次諧波合成動(dòng)圖就比較好理解了。這里的合成的概念是時(shí)域上的疊加的概念，圖片來(lái)源wikipedia 啥是傅里葉變換？在數(shù)學(xué)中，傅里葉變換(Fourier transform FT )是一種數(shù)學(xué)變換，它將一個(gè)函數(shù)(通常是一個(gè)時(shí)間的函數(shù)，或一個(gè)信號(hào))分解成它的組成頻率，例如用組成音符的音量和頻率表示一個(gè)音樂(lè)和弦。傅里葉變換指的是頻域表示和將頻域表示與時(shí)間函數(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。其本質(zhì)是一種線性積分變換，用于信號(hào)在時(shí)域（或空域）和頻域之間的變換，在物理學(xué)和工程學(xué)中有許多應(yīng)用。因其基本思想首先由法國(guó)學(xué)者約瑟夫·傅里葉系統(tǒng)地提出，所以以其名字來(lái)命名以示紀(jì)念。實(shí)際上傅里葉變換就像化學(xué)分析，確定物質(zhì)的基本成分；信號(hào)來(lái)自自然界，也可對(duì)其進(jìn)行分析，確定其基本頻率成分。其數(shù)學(xué)定義為： 對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)，若x(t)在時(shí)間維度上可積分，（實(shí)際上并不一定是時(shí)間t維度，這里可以是任意維度，只需在對(duì)應(yīng)維度空間可積分即可），即： 那么，x(t)的傅立葉變換存在，且其計(jì)算式為： 其反變換為： 上面這兩個(gè)公式是啥意思呢？在度量空間可積可以理解成其在度量空間能量有限，也即對(duì)其自變量積分（相當(dāng)于求面積)是一個(gè)確定值，那么這樣的函數(shù)或者信號(hào)就可以進(jìn)行傅立葉變換展開(kāi)，展開(kāi)得到的就變成是頻域的函數(shù)了，如果對(duì)頻率將函數(shù)值繪制出曲線就是我們所說(shuō)的頻譜圖，而其反變換就比較好理解了，如果我們知道一個(gè)信號(hào)或者函數(shù)譜密度函數(shù)，就可以對(duì)應(yīng)還原出其時(shí)域的函數(shù)，也能繪制出時(shí)域的波形圖。 當(dāng)然，本文限定討論時(shí)域信號(hào)是因?yàn)槲覀冸娮酉到y(tǒng)中的應(yīng)用最為普遍的就是一個(gè)時(shí)域信號(hào)，當(dāng)然推而廣之，其他的多維度信號(hào)也能利用上面定義進(jìn)行推廣，同樣在多維空間信號(hào)也非常有應(yīng)用價(jià)值，比如2維圖像處理等等。 上面兩個(gè)概念是一個(gè)東東么？
故而，兩者的物理含義不同，且其量綱也是不同的，代表周期信號(hào)的第k次諧波幅度的大小，而則是頻譜密度的概念。所以答案是這兩者從本質(zhì)上不是一個(gè)概念，傅立葉級(jí)數(shù)是周期信號(hào)的另一種時(shí)域的表達(dá)方式,也就是正交級(jí)數(shù),它是不同的頻率的波形的時(shí)域疊加。而傅立葉變換則是完全的頻域分析，傅里葉級(jí)數(shù)適用于對(duì)周期性現(xiàn)象做數(shù)學(xué)上的分析，傅里葉變換可以看作傅里葉級(jí)數(shù)的極限形式，也可以看作是對(duì)周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，同時(shí)也適用于非周期性現(xiàn)象的分析。傅里葉級(jí)數(shù)適用于對(duì)周期性現(xiàn)象做數(shù)學(xué)上的分析，傅里葉變換可以看作傅里葉級(jí)數(shù)的極限形式，也可以看作是對(duì)周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，同時(shí)也適用于非周期性現(xiàn)象的分析。 啥是離散傅立葉變換？離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，縮寫(xiě)為DFT），是傅里葉變換在時(shí)域和頻域上都呈離散的形式，將信號(hào)的時(shí)域采樣變換為其DTFT的頻域采樣。 在形式上，變換兩端（時(shí)域和頻域上）的序列是有限長(zhǎng)的，而實(shí)際上這兩組序列都應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是離散周期信號(hào)的主值序列。即使對(duì)有限長(zhǎng)的離散信號(hào)作DFT，也應(yīng)當(dāng)將其看作其周期延拓的變換。在實(shí)際應(yīng)用中通常采用快速傅里葉變換計(jì)算DFT。 對(duì)于N點(diǎn)序列,它的離散傅立葉變換為(DFT)為： 其中k=0,1,....,N-1,上面的式子展開(kāi)一下： 啥是快速傅立葉變換？ 快速傅立葉變換（Fast Fourier Transform：FFT）是一種計(jì)算數(shù)字信號(hào)序列的離散傅立葉變換（Discrete Fourier Transform：DFT）或其逆變換（IDFT）的算法。傅里葉分析將信號(hào)從其原始域(通常是時(shí)間或空間)轉(zhuǎn)換為頻域的表示，反之亦然。DFT是通過(guò)將一系列值分解成不同頻率的分量來(lái)獲得的。這個(gè)操作在很多領(lǐng)域中都很有用，但是直接從定義中計(jì)算它通常太慢而不實(shí)際。FFT通過(guò)將DFT矩陣分解成稀疏(大部分為零)因子的乘積來(lái)快速計(jì)算這種轉(zhuǎn)換。所以其本質(zhì)是實(shí)現(xiàn)離散傅立葉變換的一種優(yōu)化算法，將時(shí)間復(fù)雜度從降低為,其中N為待計(jì)算序列的長(zhǎng)度。當(dāng)N非常大時(shí)，這種優(yōu)化在時(shí)間維度上提升是非常顯著的。尤其在嵌入式應(yīng)用領(lǐng)域，由于受限于采用的芯片算力往往不強(qiáng)，所以FFT算法較之于DFT的效果是非常有應(yīng)用價(jià)值的。 1994年，Gilbert Strang將FFT描述為“我們一生中最重要的數(shù)值算法”，并被IEEE雜志《計(jì)算科學(xué)與工程》列入20世紀(jì)十大算法之一，它深遠(yuǎn)的影響了我們世界與日常生活。說(shuō)這個(gè)算法改變了世界也不為過(guò)。在我們?nèi)粘Ｉ钪泻芏嘣O(shè)備里面都有它的影子，比如手機(jī)、比如photoshop，比如數(shù)字音響等等。 快速傅立葉算法的最核心思想就是計(jì)算機(jī)科學(xué)里面常見(jiàn)的分治思想，即把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，分解為一個(gè)小的類似問(wèn)題進(jìn)行求解。
假定待變換離散時(shí)間序列信號(hào)長(zhǎng)度為，將x(n)按照奇偶分組： 上式可變換為： 令 其中，k取0，1，...，N/2-1 從而， 由于A(k),B(k)都是點(diǎn)的DFT，X(k)為N點(diǎn)的DFT。那么這一分治思想還可以進(jìn)一步做下去，這里就不贅述了。 下圖就是一個(gè)時(shí)間抽取的基2FFT算法的示意圖： 對(duì)于頻率抽取基2的示意圖其原理類似，這里放個(gè)圖： 不同點(diǎn)：
代碼實(shí)踐好了，前面碼了這么多字，還是不夠直觀，為了更好說(shuō)明前面的分治思想，這里放了個(gè)遞歸實(shí)現(xiàn)代碼測(cè)一下看看療效： #include <assert.h>代碼來(lái)源：https://www.math./~victor/mfmm/fourier/fft.c |
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來(lái)自： 西北望msm66g9f > 《編程》
