【課程】數學史與數學文化_專題一 數系的擴充

　　一、計數與計數法
　 “數”的概念萌發于早期人類對事物的計數，結繩與書契可能是所有早期文明中最主要的計數方法.中國古書《周易?系辭下傳》載稱: “上古結繩而治,后世圣人易之以書契”。關于結繩記事方法，鄭康成(127-200)注釋稱: “事大，大結其繩；事小，小結其繩。結之多少，隨物眾寡。”法國學者白爾蒂尤在其《人類學》中曾經描述了美洲秘魯和亞洲琉球的土著民族的結繩方法。秘魯土著人以條索編織成繩。于其上結結為標，表示備忘之意。
書契或稱木刻，即刻木為符，以志事。原在沒有文字的時代用于記數，后廣為契約等多種用途。世界各地很多土著民族至今仍在使用結繩與書契。
　　隨著文字的出現，人類開始用一些文字符號按照一定的規則表記數字，這些規則就是進位制和符號布列方式，它們是記數法的要素。在世界各地文明中，形成了各自獨特的數字符號體系和記數方法,例如：簡單分群數系、乘法分群數系、字碼數系、定位數系（位值制）等。我們今天通常使用的記數方式就是10進制定位系統，與其它記數方法相比，它在計算上有明顯的優勢，被譽為人類社會進步的基礎。

　　二、分數與小數的歷史
　　分數的產生與人類早期社會的分配以及交易活動有關，原始社會的分配情況與分數使用情況，因未留下文字性資料，我們只能作出一些猜測。各民族的早期文獻中均可以見到有關分數的文字記錄。如在我國的甲骨文和金文資料中，可以找到“分”、“半”等與分數有關的文字。
　　到了西漢時期，數學專著《算數書》與《九章算術》還給出了分數的定義:實如法而一，不滿法者，以法命之。同時還給出了分數的運算法則，如“合分術”“課分術”“齊同術”“約分術”“減分術”“乘分術”“經分術”“通分術”“通其率術”等。
巴比倫人也很早就使用分數。如在《罕漠拉比法典》和其它文獻中就出現了“二分之一”“三分之一”“三分之二”“六分之一”等。
　　小數的歷史也源遠流長，但是它作為科學的表示法正式登場還是很晚的事。它的產生與古代度量衡的使用有關。可以說在度量衡產生的同時，就蘊涵著小數的出現。
在中國傳統數學中，首先規定了10進、10000進的大數與小數名稱。中國古代的數就是通過這些大數和小數來表示的，雖然沒有引用小數點，但是如果規定某一單位為整數第一位。則它們的表示效果與我們今天的小數表示法是一樣的。
　　15世紀，中亞西亞的阿爾卡西通過將整數與小數以空位隔開的方式表示一個數的整數部分與小數部分。1617年蘇格蘭數學家納皮爾開始使用小數點的符號，這種記法被沿用至今。

　　三、無理數的發現
　　希臘文明是人類文化史上最光輝的一頁。大約在公元前1200年至公元前1000年間，希臘部落愛奧尼亞人遷徙到包括愛琴海東部諸島嶼在內的小亞細亞西部地方。由于海上交通的方便，使得它容易接受巴比倫、埃及等古代的先進文化，最終形成了后來影響歐洲乃至整個世界的燦爛文化。
　　希臘文明最為突出的是其具有高度的理性化與抽象化，在希臘學術傳統中，哲學、幾何學、藝術和邏輯學的成就最高。
　　畢達哥拉斯(約前560年-約前480年)學派是繼以泰勒斯為代表的愛奧尼亞學派之后，希臘第二個重要學派，它延續了兩個世紀，在希臘有很大的影響。它有著帶有濃厚宗教色彩的嚴密組織，屬于唯心主義學派。他們相信依靠數學可使靈魂升華，與上帝融為一體，從而數學是其教義的一部分。他們在數學上最大的貢獻是證明了直角三角形三邊關系的勾股定理，故西方稱之為畢達哥拉斯定理。
　　畢達哥拉斯學派的信條是，世界萬物都是可以用數來表示的。他們所稱的數就是自然數和分數。實際上分數也是自然數的結果。他們將這種數的理論應用于幾何，認為，對于任何兩條線段，總可找到一條同時量盡它們的單位線段，并稱此兩線段為可公度的。這種可公度性等價于“任何兩條線段之比為有理數”。他們在幾何推理中總是使用這條可公度性假定。
公元前4世紀，畢達哥拉斯學派的信徒希帕索斯發現存在某些線段之間是不可公度的，例如正方形的邊長與其對角線之間就是不可公度。根據畢達哥拉斯定理容易發現，它們之比并非是自然數之比。據說，由于希帕索斯的這一發現，觸犯了畢達哥拉斯學派的信條而被視為異端，為此他被其同伴拋進大海。
　　盡管希帕索斯的不可公度觀念未被希臘人所接受。但由此而引發了數學史上的第一次數學危機，它對古希臘的數學觀點有著極大的沖擊，整數的尊崇地位受到挑戰。于是幾何開始在希臘數學中占有特殊地位，同時，人們開始不得不懷疑直覺和經驗的可靠性，從此希臘幾何開始走向公理化的演繹形式。
　　中國傳統數學中的無理數產生于開方不盡和圓周率的計算。不過由于中國古算與古希臘數學有著不同的傳統，希臘人總是將數與形截然分開，對涉及無限的問題總是持有恐懼的態度。中國算學中數與形是有機統一的，中國人自始至終對關于無限的問題總是泰然處之，能夠正視無理數。
　　四、負數的引入
　　在現今的中學數學教材中，負數概念是伴隨有理數概念的教學而出現的。其實歷史上負數概念及其運算法則的形成，遠早于有理數、無理數概念。其概念的產生有著深刻的社會背景，與早期的經濟活動有關。早在秦漢時期的漢簡中，我們就可以發現很多有關“少”與“負算”的記帳方式。“算”是漢代賦稅的單位名稱，在統計邊疆戌卒家屬的口糧時，計算結果出現不足便記作“少若干”或“負若干算”。“負”是缺少、虧欠的意思，與“得”相反，它們為正負數概念的形成作了準備。
　　最初提出負數概念的是大約于西漢末年成書的我國傳統數學經典著作《九章算術》。該書由方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股等九章共246道數學問題構成，同類數學問題或同類解法為一章，其中第八章“方程”屬于線性方程組求解問題。（這里的“方程”與我們今天數學中的“方程”概念不完全一致，今天的“方程”一詞，是清代數學家李善蘭于1859年與英國傳教士偉烈亞力合譯西方微積分教材《代微積拾級》時，借用中國古代“方程”術語作為西方Equation的譯語）。《九章算術》的方程術實際是線性方程組求解的矩陣算法，通過“遍乘直減”的列變換，化成階梯形矩陣而獲得結果。為了解決“遍乘直減”過程中的不足減的矛盾，才引入負數概念，以使“遍乘直減”的機械程序可以順利的進行下去。三國時代的數學家劉徽注釋道:“今兩算得失相反，要令正負以名之。正算赤，負算黑，否則以邪正為異。”意思是說。正算與負算是相反意義的量。運算時，“加正等于減負，減正等于加負”，分別用紅籌和黑籌，或者用正籌和邪籌來表示正負數。

　　五、復數的產生
　　從古代起，人們便能夠解二次甚至某些高次方程，然而一個最其貌不揚的二次方程x2+1=0卻使得數學家狼狽不堪。難道存在平方為－1的數嗎？經過長期的猶豫，徘徊，到了16世紀，一些勇敢的數學家作出了大膽選擇：引進虛數單位，并從而建立了一個復數系。
　　當然，也有不少人試圖建立復數及其運算的幾何意義。但開始真正領悟到復數與平面上點之間的關系的是挪威人維塞爾、瑞士人阿甘德以及偉大的高斯。1797年，維塞爾在坐標平面上引入虛軸，以實軸和虛軸所確定的平面向量表示復數，并且還用幾何術語定義了復數和向量的運算。1806年阿甘德將復數表示成三角形式，并且把它與平面上線段的旋轉聯系起來。高斯在證明代數基本定理時，應用了復數，還創立了高斯平面，從而在復數與復平面上建立了一一對應，并首次引入“復數”這一名稱。這些人的工作主要是建立了復數的直觀基礎。
　　到了18世紀，復數理論已經比較成熟，人們很自然的想到了這樣的問題：復數系還可能進行擴張嗎？是否可以找到一個可以真包含復數系的“數系”，它們承襲了復數系的運算和運算率？也就是說，我們能否進一步構造一個包含復數系的新的數系，且使原來的運算性質全部保留下來？一個很自然的想法是考察一元復系數高次方程的解，如果我們能夠找到一個復系數方程，它在復數范圍內沒有解，就有可能得到一個復數系的擴張系。
　　但18世紀末高斯所證明的“代數基本定理”（即任意n次復系數方程至少有一個復數根）明確無誤的宣告了“此路不通”。于是不屈不撓的數學家們不得不尋求新的途徑。由于復數面上的點和復數的一一對應關系，故任意復數都可以表示為一有序實數對兒，實數可以看作序對（a,0），因此有人把復數叫做“二元數”。那么尋求新數系的一個自然途徑便是設法建立“三元數系”，“三元數系”應當承襲復數系的運算和運算率，復數系可以看作是三元數系的子數系。
　　然而，數學家的辛勤努力并未給他們帶來預期的成果。數以千計的失敗經歷給他們帶來了意外的收獲：他們終于敢于設想，三元數系可能是不存在的；同時，為了建立新的“多元數系”，可能不得不放棄某些運算性質。
　　新的多元數系的——四元數系——的發現者是英國數學家哈密爾頓。他最初也設法尋找滿足乘法交換率的三元數。經過數十個寒暑，靈感終于照亮了他，這是在1843年10月16日，當時他剛好散步走過勃洛翰橋，頭腦中正試圖尋找三維空間復數的類似物，他突然發現自己被迫要做兩個讓步：第一，他的新數要包含四個分量；第二，他必須犧牲乘法交換率。這兩個特點都是對傳統數系的革命。他當場抽出筆記本，記下了這一劃時代的結果。為紀念四元數的發明者哈密爾頓，四元數也被稱為哈密爾頓四元數。“四元數”的出現昭示著傳統觀念下數系擴張的結束。
　　但四元數的發明，其意義遠不止獲得了新的數系。它使數學家們認識到既然可以拋棄實數和復數的交換性去構造一個有意義、有作用的新“數系”，那么就可以較為自由地考慮甚至偏離實數和復數的通常性質去開拓新的數學領域。這樣，數系的擴張雖然就此終止，但是，通向抽象代數的大門被打開了。

　　六、代數數與超越數
　　如前所述，早在古希臘時期，無理數便引起了科學家的注意，但是不少人不敢正視它的存在，甚至對它諱莫如深。即使為了避免困境而不得不正視它時，也只是把它視為一種幾何上的存在，而不承認它是數。例如，畢達哥拉斯甚至能夠證明的無理性，但是他仍然堅持認為有理數才是數。
　　隨著社會的發展，無理數終于獲得了作為“數”的權利。然而有許多數，其無理性在很長時間內都無法證明，那么，無理數之間是否有區別呢？長期以來，無理數似乎始終處于一片混沌之中。到了18世紀，才有人證明它們的無理性。
　　到了19世紀，問題獲得了人們意料之外的進展，其原因卻是因為想證明費爾瑪(Fermat)大定理（即對于n3，方程xⁿ+yⁿ=zⁿ不存在正整數解）。許多大數學家都想在這一問題上一試身手，并且各自獨立地得到了不少結果。19世紀中葉，庫默爾(Kummer)通過建立所謂“理想數”理論而獲得了豐富成果。戴笛金(Dedekind)注意到了他的理論，并加以發展，從而建立了所謂現代代數數論。
　　定義：一個數 ，若它是有理數系數方程a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n=0的根，且不是次數小于n的有理數系數方程的根，則稱為n次代數數。
若 可以滿足一個首項系數為1的有理整系數方程，則叫做一個代數整數。
非代數數被稱為超越數。
　　是否存在超越數呢？數學家們從兩個方面來討論這個問題。一個是看一看實的代數數是否能夠“填滿”整個數軸，其結果大大出乎人們意料之外，原來，幾乎“所有”的實數都是超越數！（實數集是不可數的，而代數數集是可數的）這是一種純粹的“存在性”證明方法。
另一條途徑是直接證明一些數，如e,π等的超越性，然而這也是荊棘叢生的“羊腸小路”。1873年愛爾米特(Hermite)證明了e的超越性，1882年林德曼(Lindermann)證明了π的超越性。
　　但是，有一些看來頗為“平凡”的數卻使數學家們束手無策。著名的希爾波特第七問題就是一個關于某些數的超越性問題：證明為超越數，其中≠0,1,是一個代數數，β是無理代數數。
　　1929年，蘇聯數學家蓋爾馮特證明了β為虛2次無理數的結果。1930年，庫茲明和西格爾把蓋爾馮特的方法推廣到實二次型的情況。蓋爾馮特和施奈德分別獨立地于1934年和1953年完全解決了第七問題。

　　七、數系擴張的原則
　　回顧數系擴張的歷史我們可以發現，隨著數系的擴張，數域在不斷擴大：
　　自然數集→整數集→有理數集→實數集→復數集
而數域的每一次擴張，都遵循以下幾個原則：
　　1、引入新數a及其數集W，與原數集S一起構成新的數集G=W∪S；
　　2、原數集S對某種運算“⊕”不封閉，新數集W的引入，解決了對運算“⊕”的封閉性問題，即G對運算“⊕”封閉；
　　3、原數集S內定義的運算及其法則，在新數集G中仍適用。

　　討論與思考：
　　1、你認為影響數學發展的因素有哪些？
　　2、結合“數系擴充的歷史”談一談你對“數學科學與人類社會發展之間的關系”的理解。