一元二次方程的根與系數的關系

［學習目標］

  1. 熟練掌握一元二次方程根與系數的關系（即：韋達定理及逆定理）；

  2. 靈活運用一元二次方程根與系數關系確定字母系數的值；求關于兩根的對稱式的值；根據已知方程的根，構作根滿足某些要求的新方程。

  3. 在解題中鍛煉分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力；

  4. 提高自己綜合運用基礎知識分析解決較復雜問題的能力。

  5. 體會特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規律，有意培養自己發現規律的興趣，及樹立勇于探索規律的精神。

二. 重點、難點：

  1. 教學重點：

    一元二次方程根與系數關系及其推導和應用，注意往往不解方程，用兩根和與積或各系數就可解決問題，這時解了方程反而更麻煩。

  2. 教學難點：

    正確理解根與系數的關系，掌握配方思想，把某些代數式配成兩根和與積的形式才能將系數代入。

【典型例題】

  例1. 已知方程的一個根是，求它的另一個根及b的值。

    分析：含字母系數的一元二次方程中，若已知它的一個根，往往由韋達定理可求另一根，并確定字母系數的值。

    解：（方法一）設方程的另一根為，則由方程的根與系數關系得：

    解得：

    （方法二）由題意：

    解得：

    根據韋達定理設另一根為x，則

    點撥：解法一較簡單，主要原因是突出了求解的整體性。

  例2. 已知方程的兩根為，求下列代數式的值：

    （1）；（2）；（3）

    分析：若方程兩根，則不解方程，可求出關于的對稱式的值，只須將其配成含有、的形式。

    解：由已知，根據韋達定理

    （1）

    （2）

    （3）

    點撥：體會配方思想，將代數式配成含有的形式，再代系數即可。

  例3. 已知：是兩個不相等的實數，且滿足，那么求的值。

    分析：由兩個條件可得出為方程的兩不等實根，再對所求代數式配方變形。

    解：由題意，為的兩個不等實根

    因而有

    又

    點撥：善于轉化未見過的題，充分挖掘已知條件。

  例4. 已知關于x的一元二次方程與有一個相同的根，求k的值。

    解：（解法一）設方程兩根α、β，方程的兩根，則有：

    由

    當時，代入

    當時，由

    代入

    則

    代入

    把代入<2>中，

    或

    （解法二）將與相減得：

    此時方程根為0或，即題中兩方程相同根為0或

    （1）若是0則；

    （2）若是，則；

    或

    點撥：兩種解法各有千秋，一運用了解方程組思想，二運用了“若方程與有公共根，則公共根必滿足方程”的結論。

  例5. 已知方程

    （1）若方程兩根之差為5，求k。

    （2）若方程一根是另一根2倍，求這兩根之積。

    分析：對含字母系數的一元二次方程，可根據題設中方程根與系數關系，確定方程系數字母的值。

    解：（1）設方程兩根與，由韋達定理知：

    又

    （2）設方程兩根，由根系關系知：

    點撥：已知兩根的關系，應用韋達定理解決系數求值問題。

  例6. 已知方程兩根之比為1：3，判別式值為16，求a、b的值。

    分析：必用判別式，又韋達定理知，，顯然可求a、b。

    解：設已知方程的兩根為m，3m

    由韋達定理知：

    即

    把代入

    得：

    點撥：把判別式、韋達定理綜合出題，更易貫通新舊知識。

  例7. 已知是關于x的一元二次方程的兩個實數根。

    （1）用含m的代數式表示；

    （2）當時，求m的值。

    分析：應注意，即可用根系關系。

    解：（1）由題意：

    （2）由（1）得：

    解得：

    檢驗：當時，原方程無實根。

    ∴舍去

    當時，原方程有實根。

    ∴

    點撥：易忽略檢驗，要學會靈活應用一元二次方程有關概念，及判別式，根系關系。

  例8. 已知方程的兩根為，求一個一元二次方程，使它兩根為和。

    分析：所求方程，只要求出的值即可，轉化成例2類型了。

    解：設所求一元二次方程為

    為方程的兩根

    ∴由韋達定理

    又

    ∴所求一元二次方程為

    即：

    點撥：應用根系關系構造方程，如果方程有兩實根，那么方程為，當為分數時，往往化成整系數方程。

［總結擴展］

  1. 一元二次方程根與系數的關系的推導是在求根公式的基礎上進行。它深化了兩根的和與積和系數之間的關系，是我們今后繼續研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進一步使用打下基礎。

  2. 以一元二次方程根與系數的關系的探索與推導，向學生展示認識事物的一般規律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力。

  3. 本節課學習了根與系數的關系的應用，主要有如下幾方面：（1）驗根；（2）已知方程的一根，求另一根；（3）求某些代數式的值；（4）求作一個新方程……

  4. 通過根與系數的關系的應用，能較好地熟悉和掌握了根與系數的關系，由此鍛煉和培養了學生邏輯思維能力。

【模擬試題】（答題時間：40分鐘）

一. 選擇題。

  1. 已知是關于x的一元二次方程的一個根，則k與另一根分別為（    ）

    A. 2，-1                B. -1，2                C. -2，1                D. 1，-2

  2. 已知方程的兩根互為相反數，則m的值是（    ）

    A. 4               B. -4                     C. 1               D. -1

  3. 若方程有兩負根，則k的取值范圍是（    ）

    A.              B.               C.              D.

  4. 若方程的兩根中，只有一個是0，那么（    ）

    A.                      B.

    C.                      D. 不能確定

  5. 方程的大根與小根之差等于（    ）

    A.            B.           C. 1               D.

  6. 以為根的，且二次項系數為1的一元二次方程是（    ）

    A.                      B.

    C.                      D.

二. 填空題。

  7. 關于x的一元二次方程的兩根互為倒數，則m＝________。

  8. 已知一元二次方程兩根比2：3，則a，b，c之間的關系是______。

  9. 已知方程的兩根，且，則________。

  10. 已知是方程的兩根，不解方程可得：________，________，________。

  11. 已知，則以為根的一元二次方程是______

________________________。

三. 解答題。

  12. 已知方程的兩個實根中，其中一個是另一個的2倍，求m的值。

  13. 已知方程的兩根不解方程，求和的值。

  14. 已知方程的兩根，求作以為兩根的方程。

  15. 設是方程的兩個實根，且兩實根的倒數和等于3，試求m的值。

【試題答案】

一. 選擇題。

  1. A            2. B               3. D               4. B               5. C               6. B

二. 填空題。

  7.

  8. 設，則

  9.

    或

    時，原方程△＜0，故舍去，

  10.

  11.

    由此

    或

    或

    所求方程或

三. 解答題。

  12. 解：設方程的一個根為x，另一根2x

    由根系關系知：

    解得：

  13. 解：由題設條件

  14. 解：由題意

    即

    故所求方程是，即

  15. 解：

    由

    由

    不符合題意，舍去

【勵志故事】

果斷

有一個6歲的小男孩，一天在外面玩耍時，發現了一個鳥巢被風從樹上吹掉在地，從里面滾出了一個嗷嗷待哺的小麻雀。小男孩決定把它帶回家喂養。

當他托著鳥巢走到家門口的時候，他突然想起媽媽不允許他在家里養小動物。于是，他輕輕地把小麻雀放在門口，急忙走進屋去請求媽媽。在他的哀求下媽媽終于破例答應了。

小男孩興奮地跑到門口，不料小麻雀已經不見了，他看見一只黑貓正在意猶未盡舔著嘴巴。小男孩為此傷心了很久。但從此他也記住了一個教訓：只要是自己認定的事情，決不可優柔寡斷。這個小男孩長大后成就了一番事業，他就是華裔電腦名人—王安博士。