函數的單調性、函數的極值、函數的最大值和最小值

函數的單調性、函數的極值、函數的最大值和最小值

二. 本周教學重、難點：

1. 函數的單調性

設函數在某個區(qū)間內可導

（1）如果時，則函數為增函數

（2）如果時，則函數為減函數

（3）如果恒有，則為常函數

2. 函數的極值

（1）函數極值的概念

（2）判斷是極值的方法

設函數在點及其附近可導，且=0

① 如果的符號在點的左右由正變負，則為函數的極大值；

② 如果的符號在點的左右由負變正，則為函數的極小值；

③ 如果的符號在點的左右符號不變， 則不是函數的極值。

  3. 函數的最值

（1）函數最值的概念

（2）求在上最值的方法

① 設是定義在區(qū)間上的函數，在內可導，求函數的最值，可分三步進行：

<1> 求函數在內的極值；

<2> 求函數在區(qū)間端點的函數值；

<3> 將函數的各極值與比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。

② 若函數在上單調遞增，則為函數的最小值，為函數的最大值，若函數在上單調遞減，則為函數的最大值，為函數的最小值。

【典型例題】

[例1] 討論函數在內單調性。

解：∵

由即   ∴

即函數在上單調遞增

由即   ∴ 或

∴ 在（0，）上單調遞減，在（）內也單調遞減

[例2] 設函數，其中，求的取值范圍，使函數在區(qū)間上是單調函數。

解： 

∵    ∴

故當時，恒成立，即時，在上單調遞減，又當時，在區(qū)間上存在兩點，滿足，即，所以函數在區(qū)間上不是單調函數。

[例3] 已知函數（且）在定義域上是減函數，求的取值范圍。

解：∵

由得或  

∵    ∴    又由

∴    ∴

[例4] 已知，且，設，問：是否存在實數使在上是減函數，并且在上是增函數。

解：由，得，得

∴ 是連續(xù)函數，

由在上是減函數，且在上是增函數

∴

∴ ，即存在實數使滿足條件

[例5] 設函數（其中）

（1）若在處取得極值，求常數的值；

（2）若在上為增函數，求的取值范圍。

解：

（1）

∵ 在處取得極值    ∴

解得

經驗證知當時，在處取得極值

（2）令    得

當時，若   則

∴ 在和上為增函數

故當時，在上為增函數

當時，若   則

∴ 在和上為增函數，從而在上也為增函數

綜上所述，當時，在上為增函數

[例6] 已知為實數，，若在和上都是遞增的，求的取值范圍。

解法一：

∴

函數圖象為開口向上且過點的拋物線

由條件得

即    ∴

即的取值范圍是

解法二：令，即

由求根公式得

可設，

∴ 在和上非負

由題設可知：當或時

，從而

即

解不等式組得

∴ 的取值范圍是

[例7] 設，函數的最大值為1，最小值為，求的值。

解：

當變化時，變化情況列表如下：

當時，取極大值，而

     ∴ 需要比較與的大小

∵     ∴ 最大值為

又

∴    ∴

∴

[例8] 已知函數，若在上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。

解：

由得或

∵ 在上

∴ 在上單調遞增

∵ 在上

∴ 在上單調遞減

因此和分別是在區(qū)間上的最大值和最小值

又 ∵     ∴    解得

∴    

即函數在區(qū)間上的最小值為

[例9] 設函數，求正數的范圍，使對任意的都有不等式成立。

解：，令得

當時，

當時，

∴ 是唯一的極值點，是極小值點且是最小值點

要使恒成立    ∴

∴

解得

【模擬試題】

一. 選擇題：

1. 函數的單調遞增區(qū)間為（    ）

   A.     B.     C.     D. 及

2. 若函數的遞減區(qū)間為，則的取值范圍是（    ）

    A.     B.     C.     D.

3. 函數的一個單調區(qū)間為（1，2），則（    ）

A.

B.

C.

D.

4. 函數，已知在時取得極值，則等于（    ）

    A. 2   B. 3    C. 4    D. 5

5. 函數有（    ）

A. 極小值，極大值1                          B. 極小值，極大值3

C. 極小值，極大值2                         D. 極小值，極大值3

6. 函數在（0，1）內有極小值，則（    ）

    A.     B.     C.     D.

7. 函數的最小值為（    ）

    A. 0    B.     C.     D.

8. 函數在區(qū)間上的最大值為（    ）

A. 10    B.     C.     D.

二. 解答題：

1. 確定下列函數在哪個區(qū)間內是增函數，在哪個區(qū)間內是減函數：

（1）；

（2）；

（3）。

2. 求函數的極值。

3. 如果函數在1時有極值，極大值為4，極小值為0，試求的值。

【試題答案】

一.

1. D

解析：

由，得或

2. A    3. C

4. D

    解析：。

5. D

解析：，令，得

當時，，函數在這個區(qū)間為增函數

當或時，，函數為減函數

∴ 當時，有極小值；當時，有極大值3

6. A

解析：由（因有極小值，故=0有解），得

且當時，

當時，

當時，

又 ∵ 在（0，1）內有極小值

∴    ∴

7. A

解析：，令，得

又  ∴

8. A

解析：。由得或

∵ ，

，

∴ 的最大值為10

二.

1. 解：

（1）    令，解得

因此，當時，是增函數

再令，解得

因此，當時，是減函數

（2）

令，解得或

因此，當及時，是增函數

再令，解得

因此，當時，是減函數

（3）

令，解得

因此，當時，是增函數

再令，解得

又函數的定義域為，即

因此，不存在某一區(qū)間，使是減函數

2. 解：函數的定義域為

∵     令得

當變化時，的變化情況如下表：

故當時，

3. 解：，令

即，

∵ 是極值點

∴

又      ∴ 可疑點為

若

當變化時，的變化情況如下表：

由上表可知，當時，有極大值，當時，有極小值

∴

若，同理可得