第三章 導數 章節復習

第三章 導數 章節復習

二. 本周教學重難點：

【典型例題】

[例1] 求下列函數的導數

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：

（1）令

則

（2）∵

∴

（3）

（4）對于

∵

兩邊取導數得

∴

∴

（5）∵

∴

[例2] 求過曲線上的點，且與過這點的切線垂直的直線的方程。

解：由，得

∴ 曲線在點的切線的斜率是

故所求直線的斜率為

∴ 所求直線的方程為

即

[例3] 求函數的單調區間

解：的定義域為

由，得或

由，得或

∴ 的單調增區間是和，單調減區間和

[例4] 已知函數在處有極值，其圖象在處的切線平行于直線，試求函數的極大值與極小值的差。

解：

由于在處有極值   ∴

即   ①

又 ∵      ∴   ②

由①②得

∴

令，得

由于在，時，

時，

∴ 是極大值，是極小值    ∴

[例5] 已知函數在R上是減函數，求的取值范圍。

解：求函數的導數：

（1）當時，是減函數

且

所以，當時，由，知是減函數

（2）當時，

由函數在R上的單調性，可知當時，是減函數

（3）當時，在R上存在一個區間，其上有

所以，當時，函數不是減函數

綜上所述，所求的取值范圍是

[例6] 已知函數在處取得極值。

（1）討論和是函數的極大值還是極小值；

（2）過點A（0，16）作曲線的切線，求此切線方程。

解：

（1）

依題意，，即

解得

∴ ，

令，得

若，則

故在上是增函數

在上是增函數

若，則

故在上是減函數

所以是極大值，是極小值

（2）曲線方程為

點A（0，16）不在曲線上

設切點為M（），則點M的坐標滿足

因，故切線的方程為

注意到點A（0，16）在切線上，有

化簡得，解得

所以，切點為M（），切線方程為

[例7] 若函數在區間（1，4）內為減函數，在區間（6，+）上為增函數，試求實數的取值范圍。

解：函數的導數，令

解得或

當即時，函數在（1，+）上為增函數，不合題意

當即時，函數在（）上為增函數，在（1，）內為減函數，在（，+）上為增函數

依題意應有當時，

當時，0

所以，解得

所以的取值范圍是[5，7]

[例8] 某廠生產某種產品件的總成本C（）=（萬元），又知產品單價的平方與產品件數成反比，生產100件這樣的產品單價為50萬元，問產量定為多少時總利潤最大？

解：設單價為，由題意，

當時，

∴

∴ ，即

∴ 總利潤

令

∴ ，解得

當時，；當時，

∴ 當時，有最大值

答：當產量為25萬件時，總利潤最大。

【模擬試題】

一. 選擇題

1. 函數在內（    ）

A. 只有最大值                                 B. 只有最小值

C. 只有最大值或只有最小值            D. 既有最大值又有最小值

2. 已知，函數在上是單調減函數，則的最大值為（    ）

    A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

3. 若函數在處有最值，那么等于（    ）

    A. 2    B. 1    C.     D. 0

4. 設在上可導，且，則當時，有（    ）

A.

B.

C.

D.

5. 在函數的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數的點的個數是（    ）

    A. 3    B. 2    C. 1    D. 0

6. 函數（為常數）在上有最大值3，那么此函數在上的最小值為（    ）

    A.     B.     C.     D. 以上都不對

7. 若函數在區間內單調遞增，則的取值范圍是（    ）

    A.     B.     C.     D.

8. 函數在閉區間上的最大值、最小值分別是（    ）

A.     B.     C.     D.

二. 解答題

1. 已知向量，若函數在區間（）上是增函數，求的取值范圍。

2. 已知函數在[2，4]上是增函數，求的取值范圍。

3. 已知

（1）求的單調區間和值域；

（2）設，函數，若對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍。

【試題答案】

一.

1. D

2. C

    解析：由題知，∴ ，又，∴ 的最大值為3

3. A

解析：

由題意，，即    ∴

4. C

解析：因為在[]上可導，且

所以

即有，則有成立，故選C

5. D

解析：，由題意知，即

∴ 不可能為整數，整點個數為0，選D。

6. A

解析：，由，得

而當時，

時，

∴ 當時，取最大值

即=

∴

又，故

7. B

解析：設，則

① 當時，在區間內單調遞增，則在上單調遞減

即當時恒有

∴

② 當時，在區間上單調遞增，則在上單調遞增

即當時恒有，與矛盾

③ 當時，符合題意    ∴ ，選B

8. C

解析：用導數法解，先求極值，再求最值，令，得

，

∴ 最大值為3，最小值為

二.

1. 解：依定義

則

若在上是增函數

則在上可設

∴ 在區間上恒成立

考慮函數，由于的圖象是對稱軸為且開口向上的拋物線，故要使在區間上恒成立，即

而當時，在上滿足

即在上是增函數

故的取值范圍是

2. 解：令   ∵

在[2，4]上有意義且

∴ ，即

∵ 在[2，4]上為增函數及

∴ ，或在[2，4]上恒成立

∴ 或

解得或，又   ∴

即的取值范圍為（）

3. 解：

（1）對函數求導，得

，解得或

當變化時，的變化情況如下表：

所以，當時，是減函數

當時，是增函數

當時，的值域為

（2）對函數求導，得

因為，當時，

因此當時，為減函數

從而當時，有

又，，即當時有

任給，

存在使得，則

即

解①式得或    解②式得

又，故的取值范圍為