函數概念與基本初等函數

第二章　函數概念與基本初等函數

§2.1　映射、函數、反函數

一、知識導學

1.映射：一般地，設A、B兩個集合，如果按照某種對應法則 ，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的單值對應叫做集合A到集合 B的映射，記作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的對應法則)
　　2.函數： 設A，B都是非空的數集，如果按某種對應法則，對于集合A中每一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，且B中每一個元素都有原象，這樣的對應叫做從集合A到集合 B的一個函數，記作 .

其中所有的輸入值組成的集合A稱為函數定義域.

對于A中的每一個，都有一個輸出值與之對應，我們將所有輸出值組成的集合稱為函數的值域.

　　3.反函數：一般地，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據這個函數中x,y 的關系，用y把x表示出來，得到x=f^-1(y)

. 若對于y在C中的任何一個值，通過x在A中都有唯一的值和它對應，那么x=f^-1(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數，這樣的函數

叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作x=f^-1(y). 我們一般用x表示自變量，用y 表示函數，為此我們常常對調函數x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f^-1(x) 反函數y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域.

二、疑難知識導析

1.對映射概念的認識

(1) 與 是不同的，即 與 上有序的.或者說：映射是有方向的，

(2) 輸出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到對應的輸入值.集合A中每一個輸入值，在集合B中必定存在唯一的輸出值.或者說：允許集合B中有剩留元素；允許多對一，不允許一對多.

(3)集合A，B可以是數集，也可以是點集或其它類型的集合.      

2.對函數概念的認識

（1）對函數符號 的理解知道 y=與 的含義是一樣的，它們都表示 是 的函數，其中 是自變量，是函數值，連接的紐帶是法則 .是單值對應.

 (2)注意定義中的集合 A，B都是非空的數集,而不能是其他集合；

（3）函數的三種表示法：解析法，列表法，和圖象法.

3.對反函數概念的認識

　（1）函數y=只有滿足是從定義域到值域上一一映射，才有反函數；

　（2）反函數的定義域和值域分別是原函數的值域和定義域，因此反函數的定義域一般不能由其解析式來求，而應該通過原函數的值域而得.

　（3）互為反函數的函數有相同的單調性，它們的圖象關于y=x對稱.

三、經典例題導講

[例1]設M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）從M到N的映射種數；

　　　（2）從M到N的映射滿足 (a)>(b)≥f(c),試確定這樣的映射的種數.

錯解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，結合映射的概念，有

  ，共6個映射

    (2)由（1）得滿足條件的映射僅有一種情況

錯因：沒有找全滿足條件的映射個數，關健是對概念認識不清

正解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，結合映射的概念，有

一共有27個映射

（2）符合條件的映射共有4個

[例2]已知函數的定義域為[0，1]，求函數的定義域

錯解：由于函數的定義域為[0，1]，即，

∴的定義域是[1，2]

錯因：對函數定義域理解不透，不明白與定義域之間的區別與聯系，其實在這里只要明白：中取值的范圍與中式子的取值范圍一致就好了.

正解：由于函數的定義域為[0，1]，即∴滿足

，∴的定義域是[－1，0]

[例3]已知：，求.

錯解：∵ ，∴

故，∴＝3－3＝0.

錯因：沒有理解分段函數的意義，的自變量是3，應代入中去，而不是代入－5中，只有將自變量化為不小于6的數才能代入解析式求解.

正解：∵ ，

∴＝＝＝7-5＝2　

[例4]已知的反函數是，如果與的圖象有交點，那么交點必在直線上，判斷此命題是否正確？

錯解：正確

錯因：對互為反函數的圖象關于直線對稱這一性質理解不深，比如函數

的圖象的交點中，點不在直線上，由此可以說明“兩互為反函數圖象的交點必在直線上”是不正確的.

[例5]求函數，的值域.

錯解：

　　　又，的值域是

錯因:對函數定義中，輸入定義域中每一個x值都有唯一的y值與之對應，錯誤地理解為x的兩端點時函數值就是y的取值范圍了.

正解：配方，得

∵，對稱軸是∴當時，函數取最小值為2，

的值域是

[例6]已知，求函數的解析式.

錯解：由已知得

即，∴

錯因：將函數錯誤地認為是的反函數，是由于對函數表達式理解不透徹所致，實際上與并不是互為反函數，一般地應該由先求，再去得到.

正解：因為的反函數為＝，

所以＝＝

[例7]根據條件求下列各函數的解析式：

（1）已知是二次函數，若，求.

（2）已知，求

（3）若滿足求

解：（1）本題知道函數的類型，可采用待定系數法求解

設＝由于得，

又由，∴

即　

　　因此：＝

(2)本題屬于復合函數解析式問題，可采用換元法求解

設

∴＝　　（）

（3）由于為抽象函數，可以用消參法求解

　用代可得：

與　　　　　

　聯列可消去得：＝.

點評：求函數解析式（1）若已知函數的類型，常采用待定系數法；（2）若已知表達式，常采用換元法或采用湊合法；（3）若為抽象函數，常采用代換后消參法.

[例8] 已知，試求的最大值.

分析：要求的最大值，由已知條件很快將變為一元二次函數然后求極值點的值，聯系到，這一條件，既快又準地求出最大值.

解  由  得

又

當時，有最大值，最大值為

點評：上述解法觀察到了隱蔽條件，體現了思維的深刻性.大部分學生的作法如下：

由 得

當時，取最大值，最大值為

這種解法由于忽略了這一條件，致使計算結果出現錯誤.因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發現特點，而且還能從已知條件中發現其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，甚至有些問題的觀察要從相應的圖象著手，這樣才能正確地解題..

[例9]設是R上的函數，且滿足并且對任意的實數都有

，求的表達式.

解法一：由，設，

得，所以＝

解法二：令，得

即

又將用代換到上式中得＝

點評：所給函數中含有兩個變量時，可對這兩個變量交替用特殊值代入，或使這兩個變量相等代入，再用已知條件，可求出未知的函數.具體取什么特殊值，根據題目特征而定.

四、典型習題導練

1. 已知函數f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的個數是（　　　 ）

A.0       B.1      C.0或1      D.1或2

2.對函數作代換x=g(t)，則總不改變f(x)值域的代換是(    )   A.                    B.

    C.g(t)=(t－1)²                      D.g(t)=cost

3.方程f(x,y)=0的曲線如圖所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲線是 (    )

4.（06年高考全國II）函數f(x)＝的最小值為

A．190           B.171             C.90         D.45

5. 若函數f(x)=(x≠)在定義域內恒有f［f(x)］=x,則m等于(    )

A.3                 B.                    C.－              D.－3

6.已知函數滿足：，，則

           .

7.已知函數f(x)滿足f(log_ax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表達式.

8.已知函數是函數（R）的反函數，函數的圖象與函數的圖象關于直線y＝x－1成軸對稱圖形，記＝+.

（1）求函數F（x）的解析式及定義域；

（2）試問在函數F（x）的圖象上是否存在兩個不同的點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B兩點的坐標；若不存在，說明理由.