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一、函數概念的發展 從古希臘到十七世紀末這樣一個漫長的時期內，并不存在一般函數的定義，就是到了牛頓、萊布尼茲的微積分問世時，函數的一般定義仍沒誕生，原因在于：數學家們一直同具體的函數打交道，對具體函數求導、積極分、討論各種各樣的問題，并沒有感到定義一般函數概念的需要和動機。 "function"這個詞來自于萊布尼茲，他首先用"function"表示"冪"，后來他又用它表示曲線上的點的橫坐標、縱坐標、切線長度、垂線長度等所有與曲線上的點有關的幾何量，萊布尼茲的兩次定義，正反映出函數的幾何的和代數的特性。 1718年，萊布尼茲的學生約翰·貝努利繼承了代數的思想，把"function"的含義固定在"解析表達式上"，他說："所謂變量的函數，就是指由這些變量和常量所組成的解析表達式"。而歐拉則繼承了幾何的思想，認為"function"思想指任意畫出的曲線，并把這種函數叫"隨意函數"。 這時出現了爭論，歐拉認為函數是指任意的曲線，即任意曲線都是函數。而達朗貝爾則認為不是這樣，他從解析式出發認為，只有可以用單一解析式表達的曲線才是函數，而且認為 能用單一解析式表達的曲線只有連續且光滑的曲線。因而，只有連續曲線才是函數。可以看出，兩位數學家爭論的焦點在于曲線與解析式之間的關系，歐拉認為他的定義更廣泛，因為任意描畫的曲線比任意解析式具有更廣的意義，解析表達式可以描為某曲線，而任意曲線不一定有相應的解析式。達朗貝爾則認為只有連續曲線才能用唯一的解析式表達，才是函數，至于任何唯一解析式的所代表的曲線是否連續，他則沒有考慮。 然而，付里葉的研究使數學界大吃一驚，付里葉的結論是："由不連續曲線給出的函數，可以用一個三角函數式表示，"并舉例指出下圖那樣的不連續曲線雖然用 這單一的式子表示出來。 付里葉的研究表明：在解析式與曲線之間并沒有不可逾越的鴻溝，通過級數可以把它們相互勾通。那種視函數為解析式的觀點終于得以澄清。歷史的縮影可以在學生的學習中找到，中學生把函數與解析式等同是及其普遍的。 既然函數不再要求用唯一的解析式來表示，所以，無論y是用一個式子還是用多個式子表示都無關緊要，只要對于x的每一個值，y有完全確定的值與之對應，則y就是x的函數，柯西便給出了函數如下定義：對于x每個值，如果y有完全確定的值與之對應，則y叫做x的函數。 由于認識到了解析式對于x與y的關系并無多大意義，所以黎曼和狄里克需更進一步，他們完全拋棄解析式的限制，定義了我們所常說的結論的函數定義：對于x的每個值，如果y有完全確定的值與之對應，不論x、y所建立的對應方式如何，y都叫做x的函數。 至此，函數y已可以任意取值。然而，自變量的取值卻受為約束，這里自變量所能取的值總是一個區間，且自變量總被認為是連續取值的，這顯然是一種人為的限制，于是數學家又擺脫了這個限制，指出： "對于函數f(x)中的自變量x，不必取區間［a,b］上的所有值，而只取其中的任意一些就可以了，換言之，作為x，如果允許在取數中的任意集合，那么不管這些數是有限個還是無限個都是允許的。 但函數的定義仍有不足之處。首先，變量x與y的取值范圍都是數集；其次，函數是以變量為原始概念的，一開始變量又與物理運動相聯系的，其意義狹窄不說，而且離開運動而單獨去談變量顯然是無意義且又是模糊的，這些被維布倫和林納所發現，他們便通過對變量進行定義，相應地定義了變域、常量、變量的值等等，在此基礎上重新定義了函數。 所謂變量就是代數某集合中任意一個"元素"的記號，組成這一集合的元素既可以是數，也可以不是數。變量x所代表的"元素的集體"叫做這個變量的變域，常量是特殊的變量，它是上述集合中只包含一個"元素"情況下的變量，由變量x所代表的任意的元素，叫做這個變量的值，于是他們接著定義函數為： "在變量y的集合與另一變量x的集合之間，如果存在著'對于x的每個值，y都有確定值與之對應'這樣的關系，那么變量y叫做x的函數"。 數集到數集的映射，就是古典數學的函數定義，"數集"與"集"僅一字之差，但含義卻有本質的區別，它把函數的古典概念推進到現代集合論的范疇中來，實現了函數概念的重大解析，在現代數學中，常不區別映射，函數、變換，算子，視它們為同義語，按學科的需要而使用。中學數學中把函數歸結為數集到數值的映射，正是為了銜接現代數學的需要。 盡管如此，函數的定義仍然是不嚴格的：函數概念進入了集合論范疇，就應該純粹地使用集合論語言。在函數定義中，X，Y是集合，但從X到Y的"對應"是對外來的，不是集合論本身的語言，且在集合論中"集合"是原始概念，不加定義，數學家們希望一切數學概念應從原始概念派生、發展而來。"對應"未經定義而使用，在數學中顯然是不允許的，所以數學家們完全運用集合論的語言，在定義"有序"、"有序組"、"笛卡爾積"、"關系"以后，把函數定義為特殊的關系，這樣就回避了"對應"這一未加定義的術語。 |
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