函數、映射到底是什么？

一、函數的前世

要學懂微積分，第一個要掌握數學概念就是函數，它是微積分的研究對象。

（1） 函數概念要解決什么問題？

它產生于16、17世紀，起因是生產和科學技術的發展要求數學研究運動和變化中的數量關系。那么如何研究？數學家們首先創造一個變量的概念，然后緊接著又定義一個函數概念，函數就是研究變量一個工具和辦法。

函數要描述一個什么內容？概括性地講，函數要描述兩個變量之間的相互依賴、轉化的關系，這就是函數的本質。

（2）偉大的概念

首先，它是從常量數學邁進變量數學的標志。16世紀以前，數學研究的多為靜止不動的常量，稱為常量數學或者初等數學。16世紀，變量和函數概念產生標志著數學從常量時代進入到變量時代。

其次，它是數學中最重要的概念之一，有著無比重要地位，在高等數學和近代數學中處于中心地位。可以講，沒有函數就沒有高等數學和近代數學。克萊因在其名著《高觀點下的初等數學》中曾說過：“在過去兩個世紀的一切數學概念中，凡用到數學思想的地方，函數概念總起著主導的作用。函數是數學思考和科學思考的心臟和靈魂。”美國數學家柯朗與魯濱遜在其名著《數學是什么》中說：“近代數學的主體，主要圍繞著函數和極限的概念。”

再其次，幾乎所有的科學領域都離不開函數概念。它不僅在數學、物理、化學、生物、建筑、機械、電子等自然科學與工程技術學科中有著廣泛應用，大到宇宙起源、天體的運行，小到原子、分子的運動，而且在世界人口的增長、金融市場的變化、國民經濟的發展、工程技術的創新等社會科學與人文學科也是一種有效研究方法。

（3）函數一詞的最初含義

函數概念在其產生后的200多年間經歷了五次大的演變，這里面既有質的改變，也有形式內容上的完善，其中前幾次演變與微積分學有密切關系。

17世紀上半葉，伽利略和笛卡爾最先提出了函數的思想。笛卡爾在1637年出版的《幾何學》中引入坐標系，他注意到平面上點的坐標 （x，y）中的y依賴于x變化。1673年微積分的創立者之一德國數學家萊布尼茨最早使用了“functoin（函數）”一詞，最初函數表示冪（），后來又用函數表示在直角坐標系中曲線上一點的橫坐標、縱坐標。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用“流量”來表示變量間的關系。

17世紀下半葉微積分初創時，函數沒有明確一般意義，最初含義是曲線上變動點（量），大部分函數被當作曲線來研究。而微積分初創期，研究對象就是曲線。

所以我們在研究和理解微積分時，在許多不需要太嚴格的情況下，可以把函數理解為曲線，這樣便于學習。

（4）解析式說

隨后微積分的發展促使函數概念用解析表達式（即聯系兩個變量之間關系的數學算式）表示，這是函數概念的第一次重大演變。1694年，瑞士數學家約翰伯努利首先給出“解析式說函數概念”。約翰伯努利的學生、數學王子、瑞士數學家歐拉1748年在其著作《無窮小分析論》中對伯努利的定義作部分修正：一個變量的函數是由該變量和一些數或常量以任何一種方式構成的解析表達式。同時，歐拉發明利用英語單詞“function＂的首個字母f當作函數符號f(x）。

查詞典可知，函數的英文“functoin”一詞有“(機器等)工作、運行”的釋義。所以，在當時通俗形象理解，函數就是一種運算機器，以f(x)=為例，它就是一臺“平方機器'，進去的是±5，出來的是25；若進去的是“□”，出來的就是“□^2”！

函數的解析式說定義在18世紀大部分時間占有統治地位，它的優點是“解析式”是具體可以看到的東西，對幫助初學者理解函數概念是十分有益的。實際上，微積分要研究的大多數函數都是有解析式。另外，利用函數解決實際問題時，需要建立函數模型，只有找到數學解析式，才能通過討論和計算使得問題得以解決。它的不足是，把用圖形、表格及其他方式給出的函數都排斥在外。

總結一下，函數的最初含義和解析式定義是最能反映函數直觀特征，是最容易被普通人所理解的通俗講法。雖然它沒有反映出函數的本質——兩個變量之間的對應關系，其中最顯著的對應關系就是相互依賴關系。

（5）中文“函數”的含義

1859年，清代著名數學家（清代數學第一人）李善蘭將美國一本代數和微積分教材翻譯中文（中國第一本微積分教材），把“function”翻譯成“函數”。在中國古代，“函”與“含”通用，都有“包含”的意思。書中定義為“凡式中含天，為天之函數”，中國古代用天、地、人、物四個字表示四個不同的未知數或未知量，因此，該定義翻譯成現代文就是“凡是公式中含有變量x，則該式子稱為x的函數”。書中又解釋道：“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”,即一個量中包含另一個量，則這個量就是另一量的函數。李善蘭所譯的函數概念是解析式說定義。

舉例子說明一下。x^2, x^2-1, y^2是函數嗎？是的，都是函數，x^2, x^2-1是x的函數，y^2是y的函數。只不過，它們是簡約版的表達，一般表達是f(x)=x^2，或y=x^2。

為什么筆者要花這么大篇幅敘述函數概念變化的歷史沿革？因為絕大部分中國人學了十多年數學，做了無數題目，到頭來連函數是什么意思，都說不清楚。原因是中國數學教育沒有這部分內容，說明中國數學教育大方向有重大偏差，南轅北轍。

（6）變量依賴說

函數概念的第二次重大演變是用“運動與變化”的觀點給函數下定義。1８世紀中期，數學家們一直在爭論振動弦問題：“一根兩端固定的彈性弦被變形成某種初始形狀，然后被釋放出來振動。問題是描述確定某時刻弦形狀的函數。”這場辯論對函數概念的演變產生了重要的影響，出于刻畫弦形狀的函數的需要，數學家圍繞“如果兩個表達式在某個區間一致，那是否處處一致？”這一問題展開了爭論。如果函數被定義為解析式，那么答案是肯定的，曲線的一小部分已經決定了其表達式，從而決定曲線整體的位置，而歐拉發現某些分段函數不符合這一規律，同時徒手畫的曲線也不滿足這一規律。

因此，數學家們開始意識到用“解析式”定義函數已經不夠完善了，于是1775年，歐拉在《微分基礎》中更新了函數定義：“如果某些量依賴于另一些量，當后面這些量變化時，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數。”函數的“變量依賴說”定義由此誕。

變量依賴說的進步之處在于，不管函數f(x）是用一個解析式（一個或多個）、還是沒有解析式表示，只要由自變量的一個值可以決定因變量的相應值，f(x）就是y的函數。它反映了函數概念中的辯證思想，體現了從“自變”到“因變”的過程，從“關注結果”轉向“關注過程”，這是數學發展史上的重大進步。

所以《高等數學》(同濟版,第七版)第1頁第一段話第二句：所謂函數關系就是變量之間的依賴關系，目的是為了突出函數的靈魂（“變化”）。

（7）變量對應說

函數概念的本質是變量之間的對應關系（規律），只有突出對應關系在函數定義中的地位，才能真正把握函數概念。

德國數學家狄利克雷在1837年給出“變量對應說”定義：“如果對于給定區間上的每個x的值，y總有完全確定的值與之對應，那么y就叫做x的函數”。他進一步還指出，y依賴于x關系是否可用數學運算式來表達，無關緊要。1851年德國數學家黎曼把函數定義中的“完全確定的值”改為“唯一的一個值”。這是函數概念的第三次重大演變。

從歐拉以來，數學家實際上都將函數認為是解析式或曲線，而狄利克雷首次將函數看成任意的變量對應關系，并且他舉出了“性狀極怪”的函數實例，即狄利克雷函數，其意義在于：它突破了以往人們對于函數的印象，是第一個既不是由一個解析式表示，也不是徒手繪制的曲線；它說明函數具有“任意配對”的本質。

新課改之前，我國初中數學教材中函數的定義，實際上是歐拉的“變量依賴說”與黎曼的“變量對應說”的混合物。這種動態的描述性定義方式體現了原始粗略但生動直觀的一種動態文化內涵，其優點是把“變量”與“對應法則”巧妙地融合在一起這就是說，它既突出了函數的靈魂（“變化”），又強調了函數的本質（“對應關系”）。其不足之處是函數定義的適用范圍不夠廣泛，而且也不利于函數運算。

二、映射

在高等數學中 我們經常講函數就是映射，那么函數與映射是什么關系？我的說法，兩者是互幫互助的好同桌。17世紀下半葉，數學家們為研究變量創立了函數概念，其后定義多次演變。200年后，19世紀70、80年代集合論創立，戴德金將函數概念推廣（拓廣）形成映射的概念。20世紀初,數學家們又借助映射概念重新定義函數，形成了函數的現代定義。

所以是先有函數概念，后有映射概念，映射概念是脫胎于函數概念，是函數概念推廣（拓廣），映射概念大于函數概念，兩者本質是一樣。

（1）集合論講了些什么？

集合論要解決的基本問題就是：無窮是什么？集合論講，無窮是一個集合，集合可以運算，可以比較大小。

“無窮是什么？”這一問題，早在集合論創立之前的兩千多年，數學家和哲學家們就已經接觸到了大量有關無窮的問題。但由于人類認知水平有限，無力去把握和認識它，只好采取“鴕鳥把頭埋進沙子里”的辦法，不承認它的存在。所以對無窮的認識，可以說是對人類智慧最高程度的挑戰。

集合論的方法是：用“集合”來研究“無窮”。人類幾千年無法破解“無窮”，主要卡在“無窮”所涉及的個體是無窮無盡的，沒法具體數清楚準確的個數，更無法進行數學運算。康托爾采取一個全新的辦法，它就是：既然個數無窮無盡、數不清楚，那么就把全部個體當成一個整體來看待，當成一個集合來研究。集合，我們可以理解為“一個集裝箱”，把某類數的全體、某類元素的全體“打包裝箱”成一個整體（一個集合）；然后重點研究各集合之間的關系，通過關系的研究去解決問題。例如通過研究不同集合內部元素之間一一對應關系，發現并證明：無窮有大小之分，自然數、整數和有理數的個數是相同等許多重要的、突破性的結論。

那么，什么是關系？集合之間有什么關系？說白了，數學就是一種高級系統。在任何系統中，“關系”是核心內容，是系統的第一特征。沒有關系就談不上系統，關系愈豐富、愈深刻、愈復雜，則系統愈高級、愈活躍、愈完善．數學也如此，沒有了關系，數學僅有“數”而無“學（探討規律）”的東西了。反之，有了關系，則“數”不僅是數（量），也可以是變數、模數（即模量）、函數，從而成為“數學”。

數學系統與其它系統相比，有一個重要特征。它不僅在于維持、演繹著它的關系、更在于開發、創造著新的關系。利用關系可從已知推無知，從有限探無限，從關系推關系，從而使得數學系統日益復雜、完善。

雖然數學中的關系不可一一枚舉，但其中最基本的是（兩個對象間的）“二元關系”。從二元關系角度，集合論把數學關系可以歸納為序關系、等價關系、運算關系、映射關系等幾種基本類型。

（2）映射

“映射”是集合論中最為基本、最為普遍的一個概念，包括“運算”也可以認為是一種映射。德國數學家戴德金在1887年借鑒“函數”概念中“對應法則”給出“映射”的定義：系統S上的一個映射蘊涵了一種規則，按照這種規則，S中每一個確定的元素s（小s）都對應著一個確定的對象，它被稱為s（小s）的映象，記作φ（s）。我們也可以說，φ（s）對應于元素s，φ（s）由映射φ作用于s而產生或導出；s經映射φ交換成φ（s）。

這個的定義是描述性的，本質就是“映射”是一類因果演化方式的形象描述，這種“因果演化”表明：一個集合中的元素（因）按確定的方式（或叫規則）φ轉化為另一個集合中的元素（果）。需要說明的是，這里的“因果演化”與數學定理的因果證明(演算)是不同的，所以映射只能算一類因果演化。

《高等數學》(同濟版,第七版)第1頁的映射定義如下：設X、Y是兩個非空集合，如果存在一個法則 f，使得對X中每個元素x按法則 f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應，那么稱f 為從X到Y的映射，記作f：X→Y。

因為映射關系脫胎于“函數”概念中“對應法則”，所以粗略地講，“映射”概念在很多情況下等同于“函數”概念，“映射”是“函數”概念在集合論中推廣（拓廣）。集合論的特點是集合能海納百川、包羅萬象，所以“映射”也能海納百川、包羅萬象，比“函數”概念應用范疇要廣闊百倍。也就是說，映射包含函數，函數是映射的一個特例，即實數集到實數集的映射，其特征是能寫出函數表達式或具有函數式特征。

而“映射”則比較為廣義。它既可表示已經形式化了的映射關系，也可表示未經（難以）形式化的映射關系，比如可說建模活動也是一種映射；從實踐中提取某種信息也一是種映射；所有生產過程也是一種映射；專家憑經驗對某事物給出評價、打分也是一種映射；一切因果演化都叫做映射。甚至于，序關系和運算關系也可以理解為一種（二元）映射，也可以用映射的方式來敘述它們。

三、函數的今生

（1）集合對應說

集合論誕生后，函數定義中加入集合和映射的內容，這個定義是黎曼等的“變量對應說”與戴德金的映射結合在一起演變出來的，目前我國高中數學教材中普遍使用它，表達為：設 A、B為兩個非空集合，如果按某個確定的對應關系，對于集合A中每一元素x，總有集合B中唯一確定的元素y與之對應，那么這個對應關系叫做一個映射。當 A、B為非空數集時，這樣的映射就稱為函數。

利用集合之間的“對應關系”給函數下定義，擺脫了“變量”對函數概念的約束，使得函數概念的適用范圍更為廣泛。因此，是函數概念的第四次重大演變。

（2）集合關系說

“變量對應說＂定義中雖然突出了“對應法則”的地位、但對應法則 f是什么尚欠明確定義（或者說回避交代）因而顯得含糊。為了回避“對應”，德國數學家豪斯多夫在他的《集合論綱要》（1914年）用“序偶”來定義函數，但“序偶”的含義又是不明確的。波蘭數學家庫拉托夫斯基于1921年用集合概念定義“序偶”，對豪斯多夫的定義加以完善在此基礎上，1939年法國的布爾巴基學派對“關系”加以限制給出下述十分形式化、抽象化的函數定義：

設A與B是給定的數集， f是笛卡兒乘積集A×B(=｛（x,y)l x∈A，y∈B})的一個子集（也稱A與B的一個關系），如果對于任何x∈A，存在唯一的y∈B,使得（x，y）∈ f（等價于若（x,y), (x, z）∈f，則必有y＝ z），則稱 f是定義在A上、取值在B中的函數。

“集合關系說”是用集合論的語言，即對笛卡兒乘積集加以適當限制再對函數下定義，消除了“變量”“對應”等含義模糊的用語，因而是完全數學化的定義。按照這一定義方式，函數概念完全明確了所謂“函數’無非就是一張“表”，借此表給出x的值，可以知道相應的y的值。這種定義方式的最大優越性，還在于把幾何與代數有機統一起來，定義中的“f”既可以看成對應法則，也可以看成函數的圖像（而且適用于不同的坐標系）。進一步，這種完全形式化的定義還便于為計算機所接受由此可見，這種高度統一、形式化函數定義，函數概念的第五次重大演變。

不過，這種定義方式由于過于形式化，抽去了函數關系生動的直觀（變化）特征，看不到直接的“對應關系”，更加沒有明顯的解析式，因此初學者難以掌握。也許正是基于這個理由，目前中學數學教材中普遍不使用這種“最現代化”的函數定義方式。

最后總結一下，如果再有人問，什么是函數？通俗講，人類為了研究運動和變化，開始關注變量之間的關系，發現兩個變量之間有一種互相依賴的關系，即A變量變化、B變量也隨著變化，西方人便給這個關系取名“function＂。

這種變量之間互相依賴的關系，本質是什么？三百年間，人類不斷探索，認識不斷提高，前后經歷5個階段，目前的認識是把它當成集合間的“映射”關系。

那么“映射”又是什么關系？就是“對應”關系。

1859年，李善蘭根據18世紀時的定義，把“function＂翻譯成“函數”，“函”是“含有”的意思，即“A變量中含有B變量，A變量可以用B變量的代數式來表達”。為什么用此“函”，不用彼“含”？因為“function＂還有另一個含義，它是一種“運算機器”，類似一個大鐵盒子。