第二十二章　一元二次方程 小結和能力訓練

【課標要求】

　　【知識梳理】

　　1．靈活運用四種解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:a²x+bx+c=0(a≠0)

    四種解法：直接開平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：

     x= (b²-4ac≥0)

    注意：掌握一元二次方程求根公式的推導；主要數學方法有：配方法，換元法，“消元”與“降次”。

   2．根的判別式及應用(△=b²-4ac)：

    (1)判定一元二次方程根的情況。

    (2)確定字母的值或取值范圍。

    3．根與系數的關系(韋達定理)的應用：韋達定理:如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的兩根為x₁、x₂，則x₁+x₂=—，x_1·x₂=。

    (1)已知一根求另一根及未知系數；

    (2)求與方程的根有關的代數式的值；

    (3)已知兩根求作方程；

    (4)已知兩數的和與積，求這兩個數；

    (5)確定根的符號:(x₁，x₂是方程兩根)。

    應用韋達定理時，要確保一元二次方程有根，即一定要判斷根的判別式是否非負;求作一元二次方程時，一般把求作方程的二次項系數設為1，即以x₁、x₂為根的一元二次方程為x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0;求字母系數的值時，需使二次項系數a≠0，同時滿足△≥0;求代數式的值，常用整體思想，把所求代數式變形成為含有兩根之和x₁+x₂，兩根之積x₁x₂的代數式的形式，整體代入。

   4．一元二次方程的應用：解應用題的關鍵是把握題意，找準等量關系，列出方程。最后還要注意求出的未知數的值，是否符合實際意義。

　　【能力訓練】

　　一、選擇題

1、關于的一元二次方程的一個根是0，則的值為（   ）

A、           B、           C、或         D、

2、關于的方程的根的情況是（   ）

A、有兩個不相等的實數根          B、有兩個相等的實數根

C、無實數根                      D、不能確定

3、如果關于的方程的兩個實數根互為倒數，那么的值為（   ）

A、          B、           C、             D、

4、已知關于的方程有實數根，則的取值范圍是（   ）

A、        B、         C、         D、

5、市政府為了申辦2010年冬奧會決定改善城市容貌，綠化環境，計劃經過兩年時間，綠地面積增加44%，這兩年平均綠地面積的增長率是（   ）

A、19%         B、20%           C、21%           D、22%

6、已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是（   ）

A、          B、3             C、6              D、9

7、如果是一元二次方程的一個根，是一元二次方程的一個根，那么的值是（   ）

A、1或2         B、0或        C、或       D、0或3

8、若一元二次方程的兩根、滿足下列關系：，，則這個一元二次方程為（   ）

A、                    B、

C、                    D、

　　二、填空題

9、寫出一個一元二次方程使它的二次項系數、一次項系數、常數項系數的和為零，該方程可以是_____________。

10、寫出一個一元二次方程，使它沒有實數解，該方程可以是_________。

11、寫出一個一元二次方程，使它的兩實數根之和為3，該方程可以是_____________。

12、寫出一個既能直接開方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是__________。

　　三、解下列方程

13、

14、

　　四、解答題

15、制造一種產品，原來每件的成本是500元，銷售價為625元，經市場預測，該產品銷售價第一個月將降低20%，第二個月比第一個月提高6%，為了使第二個月的銷售利潤達到原來的水平，該產品的成本價平均每月應降低百分之幾？

16、如圖所示，四邊形是矩形，，。動點P、Q分別同時從A、C出發，點P以3cm/s的速度向D移動，直到D為止，Q以2cm/s的速度向B移動。

⑴P、Q兩點從出發開始幾秒后，四邊形ABQP的面積是矩形面積的？何時四邊形ABQP的面積最大，最大是多少？

⑵P、Q從開始出發幾秒后，？

17、已知、是關于的一元二次方程的兩個非零實數根，問與能否同號？若能同號，請求出相應的的值的范圍；若不能同號，請說明理由。

18、如圖，有矩形地ABCD一塊，要在中央修建一矩形花圃EFGH，使其面積為這塊地面積的一半，且花圃四周道路的寬相等，今無測量工具，只有無刻度的足夠長的繩子一條，如何量出道路的寬？

　　參考答案：

1、B  　　2、A  　　3、C 　　 4、B 　　　 5、B 　　 6、B 　　 7、D 　　 8、B   　　9、答案不惟一，  　　　 10、答案不惟一，   　　11、答案不惟一，  　　 12、答案不惟一，  　　 13、，  　　 14、  

15、設平均每月應降低，則，，（不合題意，舍去）  

16、⑴秒，當出發后，面積最大為64平方厘米  ⑵0.8秒

17、當且時，、同號，因為。故只需保證，且即可，，。

18、設道路的寬為，，，則，，由于（不合，舍去）故。具體做法是：用繩量出，再減去之長，將余下的對折兩次，即得道路的寬。