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2014年研究生考試還未塵埃落定，但是備戰2015年考研的戰役已經悄然打響。在考研數學的三門課里，線性代數這門課的特點是什么呢?線性代數這門課對考生的抽象能力的要求特別的高，大綱要求主要考查的有抽象行列式的計算，抽象矩陣求逆，抽象矩陣求秩，抽象行列式求特征值與特征向量，這四種抽象題型是考研線性代數每年常出題型，占有很大比重，要求同學們有較高的綜合能力。 線性代數的前后知識的連續性強完全是由它自身的知識體系和邏輯推理方式來決定的，很多同學也都說線性代數的公式概念結論特別的多，前后聯系特別的緊密，在做一個題時，如果有一個公式或者結論不知道，后面的過程就無法做下去，其實這也符合考研大綱的要求的考生運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。如果和高等數學做個比較，我們把高等數學看作是一個連續性的推理過程，線性代數就是一個跳躍性的推理過程，在做題時表現的會很明顯。同學們在做高等數學的題時，從第一步到第二步到第三步在數學式子上一個一個等下去很清晰，但是同學們在做線性代數的題目時從第一步到第二步到第三步經常在數學式子上看不出來，比如行列式的計算，從第幾行(或列)加到哪行(列)很多時候很難一下子看出來。針對上述特點，在此列出線性代數的各章節重要知識點和具體復習建議，希望同學們的復習能夠有的放矢。 一、行列式與矩陣 行列式、矩陣是線性代數中的基礎章節，從命題人的角度來看，可以像潤滑油一般結合其它章節出題，因此必須熟練掌握。 行列式的核心內容是求行列式——具體行列式的計算和抽象行列式的計算。其中具體行列式的計算又有低階和高階兩種類型，主要方法是應用行列式的性質及按行(列)展開定理化為上下三角行列式求解;而對于抽象行列式而言，考點不在如何求行列式，而在于結合后面章節內容的相對綜合的題。 矩陣部分出題很靈活，頻繁出現的知識點包括矩陣各種運算律、矩陣的基本性質、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩、初等矩陣等。 二、向量與線性方程組 向量與線性方程組是整個線性代數部分的核心內容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節，而其后兩章特征值和特征向量、二次型的內容則相對獨立，可以看作是對核心內容的擴展。 向量與線性方程組的內容聯系很密切，很多知識點相互之間都有或明或暗的相關性。復習這兩部分內容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內在聯系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。 這部分的重要考點一是線性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式;二是線性方程組與向量以及其它章節的各種內在聯系。 (1)齊次線性方程組與向量線性相關、無關的聯系 齊次線性方程組可以直接看出一定有解，因為當變量都為零時等式一定成立——印證了向量部分的一條性質“零向量可由任何向量線性表示”。 齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解;②有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立，而當齊次線性方程組有非零解時，存在不全為零的變量使上式成立;但向量部分中判斷向量組是否線性相關、無關的定義也正是由這個等式出發的。故向量與線性方程組在此又產生了聯系——齊次線性方程組是否有非零解對應于系數矩陣的列向量組是否線性相關。可以設想線性相關、無關的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。 (2)齊次線性方程組的解與秩和極大無關組的聯系 同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是“極大線性無關組中的向量個數”。經過“秩→線性相關、無關→線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關時，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過r個線性無關的解向量(基礎解系)線性表示。 (3)非齊次線性方程組與線性表出的聯系 非齊次線性方程組是否有解對應于向量是否可由列向量組線性表示，使等式成立的一組數就是非齊次線性方程組的解。 三、特征值與特征向量 相對于前兩章來說，本章不是線性代數這門課的理論重點，但卻是一個考試重點。其原因是解決相關題目要用到線代中的大量內容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關性，“牽一發而動全身”。 本章知識要點如下： 1. 特征值和特征向量的定義及計算方法就是記牢一系列公式和性質。 2. 相似矩陣及其性質，需要區分矩陣的相似、等價與合同： 3. 矩陣可相似對角化的條件，包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件一是n階矩陣有n個線性無關的特征值;二是任意r重特征根對應有r個線性無關的特征向量。 4. 實對稱矩陣及其相似對角化，n階實對稱矩陣必可正交相似于以其特征值為對角元素的對角陣。 四、二次型 這部分所講的內容從根本上講是特征值和特征向量的一個延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為“對于實對稱矩陣，必存在正交矩陣，使其可以相似對角化”，其過程就是上一章實對稱矩陣相似對角化的應用。 本章核心要點如下： 1. 用正交變換化二次型為標準型。 2. 正定二次型的判斷與證明。 |
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