線性代數知識匯總

線性代數是代數學的一個分支，主要處理線性關系問題。線性關系意即數學對象之間的關系是以一次形式來表達的。例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個平面相交，由兩個三元一次方程所組成的方程組來表示。含有 n個未知量的一次方程稱為線性方程。變于關量是一次的函數稱為線性函數。線性關系問題簡稱線性問題。解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。

線性（linear）指量與量之間按比例、成直線的關系，在數學上可以理解為一階導數為常數的函數

非線性（non-linear）則指不按比例、不成直線的關系，一階導數不為常數。

行列式非零矩陣可逆方陣滿秩向量組滿秩（向量個數等于維數）。

2.1 定義

      矩陣的行列式，determinate（簡稱det），是基于矩陣所包含的行列數據計算得到的一個標量。是為求解線性方程組而引入的。

2.2 二階行列式

      計算方式：對角線法則

2.3 三階行列式

      計算方式：對角線法則

2.4 n階行列式

2.4.1 計算排列的逆序數

2.4.2 計算n階行列式

2.4.3 簡化計算總結

2.4.4 行列式的3種表示方法

2.5 行列式的性質

性質1  行列式與它的轉置行列式相等
       注：行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立.
性質2  互換行列式的兩行（列）,行列式變號
推論    如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零
性質3  行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數k，等于用數k乘以此行列式.
推論    行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．
性質4  行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．
性質5  若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和,則等于對應的兩個行列式之和.

性質6  把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．

2.6 計算行列式的方法

     1）利用定義
     2）利用性質把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值

    定理中包含著三個結論：
       1）方程組有解；（解的存在性） 
       2）解是唯一的；（解的唯一性）
       3）解可以由公式(2)給出.

定理4   如果線性方程組(1)的系數行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的 .
定理4′ 如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數行列式必為零.

齊次線性方程組的相關定理
定理5   如果齊次線性方程組的系數行列式D不等于0，則齊次線性方程組只有零解，沒有非零解.
定理5′ 如果齊次線性方程組有非零解,則它的系數行列式必為零.   

1. 用克拉默法則解線性方程組的兩個條件
    1) 方程個數等于未知量個數；
    2) 系數行列式不等于零.
2. 克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數以及常數項之間的關系．它主要適用于理論推導．

2.8 行列式按行(列)展開

      對角線法則只適用于二階與三階行列式.
      本節主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式.

3.1 矩陣的定義

3.1.1 矩陣與行列式的區別

3.2 特殊矩陣

3.3 矩陣與線性變換

3.4 矩陣的運算

3.4.1 矩陣的加法

行列式與矩陣加法的比較：

3.4.2 數乘矩陣

3.4.3 矩陣與矩陣相乘

3.4.4 矩陣的轉置

反對稱矩陣(skew symmetric matrix)

3.4.5 方陣的行列式

3.4.6 伴隨矩陣

3.4.7 共軛矩陣

3.5 可逆矩陣(或稱非奇異矩陣)

3.6 矩陣分塊法

分塊矩陣不僅形式上進行轉置，而且每一個子塊也進行轉置．

4.1 矩陣的初等變換

4.2 矩陣之間的等價關系

4.3 初等變換與矩陣乘法的關系

4.4 矩陣的秩

4.5 線性方程組的多解

5.1 向量組及其線性組合

5.2 向量組的線性相關性

5.3 向量組的秩

結論：矩陣的最高階非零子式一般不是唯一的，但矩陣的秩是唯一的．

5.4 線性方程組的解的結構

問題：什么是線性方程組的解的結構？
答：所謂線性方程組的解的結構，就是當線性方程組有無限多個解時，解與解之間的相互關系．

備注：
   1）當方程組存在唯一解時，無須討論解的結構．
   2）下面的討論都是假設線性方程組有解．

5.5 向量空間

5.5.1 封閉的概念

         定義：所謂封閉，是指集合中任意兩個元素作某一運算得到的結果仍屬于該集合．

5.5.2 向量空間的概念

         定義：設 V 是 n 維向量的集合，如果
         ① 集合 V 非空，
         ② 集合 V 對于向量的加法和乘數兩種運算封閉，
             具體地說，就是：
             若 a ∈ V， b ∈ V，則a + b ∈ V ．（對加法封閉）
             若 a ∈ V， l ∈ R，則 l a ∈ V ．（對乘數封閉）
             那么就稱集合 V 為向量空間．

5.5.3 子空間的概念

         定義：如果向量空間 V 的非空子集合 V1 對于 V 中所定義的加法及乘數兩種運算是封閉的，則稱 V1 是 V 的子空間．

5.5.4 向量空間的基的概念

6.1  向量的內積、長度及正交性

6.1.1 向量的內積

6.1.2 向量的長度或范數

單位向量：長度為1的向量。

6.1.3 向量的正交性

向量正交：向量內積為0。

6.1.4 正交矩陣或正交陣

6.1.5 正交矩陣的性質

6.2 方陣的特征值與特征向量

6.2.1  正定矩陣/半正定矩陣

1）矩陣半正定當且僅當它的每個特征值大于等于零(>=0)。

2）矩陣正定當且僅當它的每個特征值都大于零(>0)。

6.3 相似矩陣

6.4 對稱矩陣的對角化

6.5 二次型及其它標準型