【中考倒計時】根與系數(shù)的關系，原來這么考！

知識點睛

1.一元二次方程根的判別式的定義：

運用配方法解一元二次方程過程中得到 ，顯然只有當時，才能直接開平方得：．

也就是說，一元二次方程只有當系數(shù)a、b、c滿足條件時才有實數(shù)根．這里叫做一元二次方程根的判別式．

2.判別式與根的關系：

在實數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根由其系數(shù)a、b、c確定，它的根的情況(是否有實數(shù)根)由確定．

判別式：設一元二次方程為，其根的判別式為：則

①方程有兩個不相等的實數(shù)根．

②方程有兩個相等的實數(shù)根．

③方程沒有實數(shù)根．

若a、b、c 為有理數(shù)，且Δ為完全平方式，則方程的解為有理根；若Δ為完全平方式，同時是2a的整數(shù)倍，則方程的根為整數(shù)根．

(1)用判別式去判定方程的根時，要先求出判別式的值:上述判定方法也可以反過來使用，當方程有兩個不相等的實數(shù)根時，Δ>0;有兩個相等的實數(shù)根時，Δ=0;沒有實數(shù)根時，Δ<0.

(2)在解一元二次方程時，一般情況下，首先要運用根的判別式判定方程的根的情況(有兩個不相等的實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，無實數(shù)根)．當=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根(二重根)，不能說方程只有一個根．

①  當a>0時，拋物線開口向上，頂點為其最低點；

②  當a<0時，拋物線開口向下，頂點為其最高點．

3.一元二次方程的根的判別式的應用：

一元二次方程的根的判別式在以下方面有著廣泛的應用：

（1）運用判別式，判定方程實數(shù)根的個數(shù)；   

（2）利用判別式建立等式、不等式，求方程中參數(shù)值或取值范圍；

（3）通過判別式，證明與方程相關的代數(shù)問題；

（4）借助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題，最值問題．

如果一元二次方程的兩根為

那么，就有

比較等式兩邊對應項的系數(shù)，得

①式與②式也可以運用求根公式得到．人們把公式①與②稱之為韋達定理，即根與系數(shù)的關系．

因此，給定一元二次方程就一定有①與②式成立．反過來，如果有兩數(shù)滿足①與②，那么這兩數(shù)必是一個一元二次方程的根．利用這一基本知識常可以簡捷地處理問題．

利用根與系數(shù)的關系，我們可以不求方程的根，而知其根的正、負性．

在的條件下，我們有如下結(jié)論：

當時，方程的兩根必一正一負．若，則此方程的正根不小于負根的絕對值；若，則此方程的正根小于負根的絕對值．

當時，方程的兩根同正或同負．若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負根．

⑸ 韋達定理主要應用于以下幾個方面：

①       已知方程的一個根，求另一個根以及確定方程參數(shù)的值；

②       已知方程，求關于方程的兩根的代數(shù)式的值；

③       已知方程的兩根，求作方程；

④       結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征；

⑤       逆用構造一元二次方程輔助解題：當已知等式具有相同的結(jié)構時，就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根，以便利用韋達定理；

⑤ 利用韋達定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗證方程的Δ．一些考試中，往往利用這一點設置陷阱．