B樣條曲線

介紹        

        1074年，Gordon和Riesenfeld用B樣條基函數(shù)代替了Bernstein基函數(shù)，構造了B樣條曲線。B樣條曲線分段組成。每一段的參數(shù)t的區(qū)間為[0,1]。這樣就克服了Bezier曲線的缺點：改變Berier曲線任意一個控制點，曲線上的所有點都變換。BSpline曲線的優(yōu)點：修改某一控制點只引起與該控制點相鄰的曲線形狀發(fā)生變化，遠處的曲線形狀不受影響。這種優(yōu)點使得B樣條曲線廣泛應用于交互式自由曲面設計。

        二次Bezier曲線有三個控制點。n條二次Bezier曲線有3n個控制點。實際上，不需要這么多控制點。二個相接的曲線可減少一個點。可減少n-1點。設第1條二次Bezier的三個控制點為p1,p2,p3,第2條二次Bezier的三個控制點為p3,p4,p5，則控制點可減少為5個即p1 p2 p3 p4 p5。如果令p3為p2與p4點的中點，則又減少了一個控制點p3。這樣，四個控制點p1 p2 p4 p5就可以確定二條二次Bezier曲線。5個控制點確定3條，6個控制點確定4條。n個控制點確定n-2條二次Bezier曲線。

B樣條曲線的定義

       B樣條曲線分為均勻B樣條曲線和非均勻B樣條曲線，這里只討論均勻B樣條曲線。給定n+1個控制點Pi(i=0,1,2,...,n)的坐標Pi，n次B樣條曲線段的參數(shù)表達式為

式中為n次B樣條基函數(shù)，其形式為

其中

二次B樣條曲線

        二次B樣曲線的n=2,i=0,1,2控制多邊形有3個控制點P0,P1,P2。B樣條曲線是二次多項式。

        公式 待續(xù)

三次B樣條曲線

       公式待續(xù)

演示程序截圖

三次B spline

參考書籍

《計算機圖形學》 孔令德