黎曼猜想的重要意義

在數學界，有很多非常重要的數學難題至今沒有被攻克和證明，黎曼猜想就是其中的一個。 提起“黎曼猜想”，大家可能僅僅是聽說過，或者僅僅知道這個難題的名稱而已，至于它究竟是什么問題，為什么如此重要，大多數人可能是一無所知。

德國數學家、物理學家黎曼

黎曼猜想的內容：它究竟是一個什么問題

黎曼猜想是由德國數學家、物理學家黎曼提出的。1859年黎曼發表一篇關于素數分布的論文，這篇論文中他研究了黎曼ζ函數，提出了著名的黎曼猜想。我們無法完全用初等的數學來描述黎曼猜想的內容，概略地講，它是關于對一個名叫黎曼ζ函數的復變量函數（也就是變量和函數值均在復數域中取值的函數）的猜想。與其他很多函數一樣，黎曼ζ函數在某些點上的取值為0，這些點被稱之為黎曼ζ函數的0點。在這些0點當中，特別重要的一部分稱為黎曼 ζ函數的非平凡0點。黎曼猜想的內容就是猜想這些非平凡的0點，全部分布在一條特殊的直線上，這條直線被稱之為“臨界線”，它是一條通過實軸的點1/2與虛軸平行的直線。

黎曼猜想是數學中最重要的猜想

黎曼猜想一直以來都是數學界最為重要的猜想之一，這是世界各國科學家們所公認的事實。

1900年夏天，在法國巴黎召開一次國際數學家大會。在這次會議上，德國著名的數學家希爾伯特做了題為“數學問題”的演講，列出了一系列他認為最為重要的數學難題，引起了很多數學家的興趣。

時隔100年，也就是2000年，美國克雷數學研究所的數學家們在巴黎也召開了一次數學會議，參加會議的科學家們也列出了他們自己認為最為重要的數學難題。雖然他們的聲望遠遠不及希爾伯特，但為表明其重要性和鼓勵攻克難題，他們為每個難題開設了100萬美元的獎金。

這兩次數學會議均在巴黎召開，遙相呼應，但最為引人矚目的共同之處是，兩次會議所列出的最為重要的數學難題當中，只有一個是相同的，那就是黎曼猜想，這足以說明它的重要性是許多科學家所公認的，而且它已被克雷數學研究所列為世界黃金問題之一。

為什么黎曼猜想如此重要？

黎曼猜想在數學界如此重要，是因為它很艱深嗎？黎曼猜想的確非常艱深，但如果僅用艱深來衡量其重要性的話，那么與之相比，其他的一些數學猜想絲毫都不遜色。例如，科學家們前赴后繼，經過350年以上的努力，才證明了費馬猜想；哥德巴赫猜想的問世比黎曼猜想要早100多年，至今依然像黎曼猜想一樣屹立不倒。

那么，究竟是什么原因讓黎曼猜想稱為最重要的數學猜想呢？

首先，黎曼猜想與其他數學命題之間存在著千絲萬縷的聯系

在目前的數學文獻中，有1000多個數學命題是一黎曼猜想及其推廣形式的成立為前提的，這就意味著，一旦黎曼猜想及其推廣形式被證明，這些數學命題將會全部榮升為定理；與此相反，如果黎曼猜想被推翻，那么這1000多個數學命題中至少有一部分將會不可避免地成為“陪葬”品。牽一發而動全身，一個數學猜想竟然與這么多的數學命題緊密關聯，可以在數學中是絕對是獨一無二的。

其次，黎曼猜想與數論中的素數分布問題關系極為密切

數論作為一個極其重要的傳統數學分支，曾被德國數學家高斯稱作是“數學的皇后”，而素數分布問題則是數論中一個極為重要的傳統課題，一直以來，素數分布問題就是眾多科學家極為感興趣的問題，這就使得黎曼猜想在科學家們心目中的地位和重要性大大提升。

還有，在研究黎曼猜想的過程中能產生一些對數學其他方面有貢獻和影響的方法和結果。

這也是衡量一個數學猜想重要性的標準。其實在研究黎曼猜想的過程中，數學家們所取得的早期成果之一，就直接導致了素數定理得的證明，這是一個關于素數分布的重要命題。

最后，黎曼猜想超越了純數學的范圍而“侵入”到物理學的領地

20世紀70年代早期，人們就發現某些有關黎曼猜想的研究，與某些極為復雜的物理現象之間竟然有著顯著的關聯，這是最出人意料的事情。盡管這種關聯的原因至今仍然是一個謎，但這種存在本身，無疑是更加增強了黎曼猜想的重要性。

黎曼猜想的研究進程

20世紀初，希爾伯特曾經說過，如果他能在沉睡1000年后醒過來，他關心和要問的第一個問題就是：黎曼猜想得到證明了嗎？但現在100多年過去了，黎曼猜想既沒有被證明，也沒能被推翻，至今懸而未決。科學家們從分析和數值計算兩方面入手，對其進行了大量而深入的研究。到目前為止，在分析方面，他們取得的最強結果是：證明了至少有40%的非凡0點位于“臨界線”上。在數值計算方面，他們所取得的最強結果是：驗證了前10萬億個非平凡0點，均位于那條特殊的“臨界線”上。

盡管攻克黎曼猜想非常艱難，但它的重要性卻引起全世界的數學家極大的興趣，并為之付出艱辛的努力。美國數學家蒙哥馬利曾經表示：“如果有魔鬼答應讓數學家們用自己的靈魂來換取一個數學命題的證明，多數數學家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。”