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最近我幾乎無阻力的看完了Horn《矩陣分析》的中譯本，也許有人會覺得奇怪，為什么你現在還看這樣初等的書呢？原先我只看過理工科的線性代數，后來補了個Jordan標準型就直接看抽象代數了，有時會感到處理矩陣運算時還不得心應手，就有心找本講矩陣的書強化一下。可所謂矩陣論教材大都給理工科看的，再回頭看高等代數的話又嫌啰嗦，幸好在華章數學譯叢里發現了這本用現代觀點來介紹矩陣理論的好書。 顯示全文 既然書名叫做矩陣分析，那么主要就是用分析的手段來研究矩陣，這里的分析不單指極限這樣簡單的數學分析概念，還包括泛函分析的基本思想。事實上，書中很多語言完全是可以直接與泛函接軌的，比如把矩陣特征值的集合成為譜，引入矩陣范數前詳細討論了向量范數（既然早看過泛函，這個部分我就跳過吧），并細致處理了關于矩陣的有限維譜定理。記得以前看Hilbert空間的算子譜論時，總覺得對有限維的情形看得不是太清楚，好在是現在填補了這個空白，Hermite矩陣的變分特征對應著算子理論中的極小極大原理，而矩陣擾動也正對應了算子的擾動。除了分析手段之外，一些最簡單的代數與拓撲也用來刻畫矩陣，特別是提示了可以把矩... 最近我幾乎無阻力的看完了Horn《矩陣分析》的中譯本，也許有人會覺得奇怪，為什么你現在還看這樣初等的書呢？原先我只看過理工科的線性代數，后來補了個Jordan標準型就直接看抽象代數了，有時會感到處理矩陣運算時還不得心應手，就有心找本講矩陣的書強化一下。可所謂矩陣論教材大都給理工科看的，再回頭看高等代數的話又嫌啰嗦，幸好在華章數學譯叢里發現了這本用現代觀點來介紹矩陣理論的好書。
既然書名叫做矩陣分析，那么主要就是用分析的手段來研究矩陣，這里的分析不單指極限這樣簡單的數學分析概念，還包括泛函分析的基本思想。事實上，書中很多語言完全是可以直接與泛函接軌的，比如把矩陣特征值的集合成為譜，引入矩陣范數前詳細討論了向量范數（既然早看過泛函，這個部分我就跳過吧），并細致處理了關于矩陣的有限維譜定理。記得以前看Hilbert空間的算子譜論時，總覺得對有限維的情形看得不是太清楚，好在是現在填補了這個空白，Hermite矩陣的變分特征對應著算子理論中的極小極大原理，而矩陣擾動也正對應了算子的擾動。除了分析手段之外，一些最簡單的代數與拓撲也用來刻畫矩陣，特別是提示了可以把矩陣作為一個群來看待。比如其中有個習題提到了所有復正交矩陣可以構成了一個非緊群，這一看似平凡的結論既強調了數域的差別，又涉及了群與緊致的概念，恐怕是國內作為新生課高等代數教材所達不到的。 此書的一個看點，同時也是我所重視的部分就是它不僅研究了單個矩陣，而且還研究了矩陣族。書中從矩陣的同時可對角化問題開始，不斷提醒我們注意族問題的存在性，比如到正規矩陣就考慮同時可酉對角化，到Hermite矩陣就考慮同時可相合對角化等。正是受此啟發，我從中抽象出一個數學族問題的框架，并且具體考慮了矩陣在奇異值分解條件下的同時可對角化問題。我想，矩陣的同時對角化問題正是此框架下的典型例子，至少目前可以想到推廣方向是：改變運算之后考慮李代數的同時對角化，改變空間之后考慮一些典型算子的同時對角化。 此書后半部分講到了不少有趣的新內容，特別是介紹了矩陣的組合理論，對某些矩陣的性質賦以圖論解釋。不過這里的矩陣元素很多情況下都只有零與非零的區別，總是讓人感到遺憾。要是把數域推廣到非零特征的情形，就可以用加法制造零點了（考慮含零因子的環還可以用乘法制造零點，不過這似乎遠了點），這樣問題可能會復雜一些，但可以讓其中的元素多顯示一點自己的價值。除此之外，此書后半部分還提到了Hermite矩陣的Weyl定理、關于特征值估計的Gersgorin圓盤、矩陣的奇異值分解、非負矩陣的Perron定理等，這些都是一般高等代數書上所不常見到的有趣課題。 這本書的作者充分照顧了自學讀者的需要，寫得翔實而又不失啟發性，應該算是一本五星級的自學讀物了。如果你正好學完高等代數，哪怕只是所謂的線性代數，而又想看到一些新鮮東西的話，相信它一定不會讓你失望的。 文章出自我的博客： http://blog.sina.com.cn/s/blog_486c2cbf0100ce8x.html 25 20 |
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