導數(shù)在三角函數(shù)中的應(yīng)用

三角函數(shù)是高中數(shù)學一個重要的分支，是高考的重點考查內(nèi)容之一。三角函數(shù)也是一種基本的初等函數(shù)，具有函數(shù)的一般性質(zhì)，如單調(diào)性，周期性，奇偶性，有界性等等。

導數(shù)是解決函數(shù)問題的一件“利器”，當然也適用于三角函數(shù)。在三角函數(shù)的某一些問題中，如果能夠?qū)?shù)方法引入，會收到出其不意的效果。

筆者在高三年一堂三角函數(shù)的復習課上，讓學生練習這樣的一道題目：

在課堂巡視過程中，發(fā)現(xiàn)學生幾乎都采用以下兩種方法求解。

解法一

解法二

事實上，除了以上兩種解法，我們還可以采用以下方法來求解。

解法三

通過這道題目的講解，學生恍然大悟，充分感受到導數(shù)的“另類運用”，體會到很多數(shù)學問題與數(shù)學問題之間不是孤立的，表面看似無關(guān)的問題實際上卻有著千絲萬縷的聯(lián)系，享受到學習成功的喜悅。

在例題的講解后，我引導學生及時針對例題的三種解法進行反思與評價，對例題中所涉及到的數(shù)學知識點，所運用到解題思路與規(guī)律進行歸納總結(jié)，引導學生對教學過程進行仔細的品味，加強學生的數(shù)學感悟。希望學生通過反思，歸納總結(jié)深化對數(shù)學知識點的掌握，提高對高中數(shù)學知識的靈活運用能力，讓高三數(shù)學教學實現(xiàn)舉一反三的教學效果。

當學生有了以上的解題經(jīng)驗和感悟之后，我再拋出這樣的一道題目：

我先引導學生避開導數(shù)法，采用三角函數(shù)的相關(guān)公式進行化簡，看是否能夠做得出來。學生經(jīng)過嘗試，探討，無法得到結(jié)果。此時，有同學就開始嘗試用上述導數(shù)來進行求解。

學生得到結(jié)果后，不禁恍然大悟：原來這道題目只能引入導數(shù)進行求解，用別的方法確實做不出來!通過這樣的探究，學生進一步意識到導數(shù)法在解決三角函數(shù)中的重要地位。

新課程標準中指出，學生作為學習的主體，在教師開展教學活動的過程中應(yīng)當要體現(xiàn)出較強的探究欲望體現(xiàn)出其主體地位，教師也應(yīng)當充分利用課堂教學加強對學生探究能力的培養(yǎng)，加強對學生探究性自主學習能力的培養(yǎng)。

通過以上教學過程，不僅培養(yǎng)了學生自主探究的能力，還讓學生掌握了利用導數(shù)解決三角函數(shù)這一重要的方法，從而激發(fā)學習興趣和提高學習效率，發(fā)展智力與技能，培養(yǎng)學生數(shù)學思想與創(chuàng)新思維。

通過上述教學實踐，筆者深感導數(shù)法在三角函數(shù)中的巨大作用。實際上，在近幾年的高考試題中，為了更好地考查學生對三角函數(shù)的掌握程度，各地都出現(xiàn)了涉及三角函數(shù)的創(chuàng)新試題，這些題目不僅新穎，給人耳目一新的感覺，更能對高中數(shù)學教學起到導向的功能。而要更好地解決這類題目，導數(shù)法也是首選。

下面，筆者舉例進行說明。

利用導數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值

本題考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)性與極值。考查綜合應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的能力。

對于三角函數(shù)的這一類題型該如何求解？將同一類問題的解決方法進行總結(jié)提煉，優(yōu)化，概括，形成一種清晰的解題思路：對函數(shù)f(x)求導，對導函數(shù)用輔助角公式變形，利用導數(shù)等于零得到極值點，通過列表的方法考查極值點兩側(cè)導數(shù)的正負，判斷區(qū)間的單調(diào)性，進而求出極值。

利用導數(shù)求三角函數(shù)中參數(shù)取值范圍

該題是典型的已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)取值范圍題型。其特殊的地方在于該函數(shù)是三角函數(shù)。

整個解題過程思路清晰，簡潔明了，大道至簡，能夠幫助考生在考場上大大節(jié)約解題時間。如果我們不采用導數(shù)的方法，而是用常規(guī)的思維，也可以這樣來做：

這種解法表面上看上去似乎簡單，但其實切入點相當?shù)睦щy，學生不容易想到，因此，比較這兩種解法，還是導數(shù)法略高一籌。

利用導數(shù)考查三角函數(shù)中

原函數(shù)與導函數(shù)的圖象關(guān)系

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，導數(shù)的運算，幾何概型等知識點。要做出本道題目，要求考生對導數(shù)的概念，定積分的運算必須有一個十分清醒的認識。本題十分巧妙地將導數(shù)的運算融合進三角函數(shù)當中，考查學生對兩者的掌握程度，實屬好題。

利用導數(shù)研究三角函數(shù)中綜合性問題

本題的第2問考查了數(shù)列與三角函數(shù)，函數(shù)與導數(shù)，函數(shù)的零點等基礎(chǔ)知識。考查了考生的推理論證能力，抽象概括能力，運算求解能力。考查了函數(shù)與方程思想，分類與整合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想。

在解題中利用到“方程的實根等價于相應(yīng)函數(shù)的零點”這一知識點，將方程2cos2x=sinx+sinxcos2x有解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)=sinx+sinxcos2x-2cos2x有零點的問題。而要解決函數(shù)的零點問題，顯然要利用零點存在定理，結(jié)合單調(diào)性。而要弄清楚函數(shù)的單調(diào)性就必須用到求導。借助導數(shù)，我們很快就可以判斷出h(x)的單調(diào)性，從而解出這道題目。縱觀整個解題過程，導數(shù)起到了至關(guān)重要的作用。

通過以上題目，我們充分體會到利用導數(shù)研究三角函數(shù)問題的重要性。如果教師在課堂上缺乏這種意識，那將導致學生對這類題目模糊不清，缺乏相應(yīng)的解題思維，對學生造成“二次傷害”。因此，在平時的教學過程中，我們一定要將導數(shù)思想滲透進三角函數(shù)當中。

正如著名數(shù)學教育家波利亞所言：

這類題目能夠較好地考查學生運算求解，推理論證的能力，具有很好的啟智功能，導向功能。因此，應(yīng)該引起我們足夠的重視。