模型系列：將軍飲馬

將軍飲馬模型

“將軍飲馬”問題主要利用構造對稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結合，在近年的中考和競賽中經常出現，而且大多以壓軸題的形式出現．

模型1：直線與兩定點

模型實例

例1：如圖，正方形ABCD的面積是12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，則PD＋PE最小值是             ．

解答：如圖所示，∵點B與點D關于AC對稱，

∴當點P為BE與AC的交點時，PD＋PE最小，且線段BE的長．

∵正方形ABCD的面積為12，∴其邊長為

∵△ABE為等邊三角形，∴BE＝AB＝．∴PD＋PE的最小值為．

 例2：如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P為CD上的動點，則 的最大值是多少？

解答：

如圖所示，作點A關于CD的對稱點A′，連接A′C，連接A′B并延長交CD于點P，則點P就是的值最大時的點，＝A′B．

∵△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC等于4，∴∠ACB＝90°．

∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°．

∵點A、A′關于CD對稱，∴AA′⊥CD，AC＝CA′，

∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．

∵CA′＝AC＝BC＝4，∴△A′BC是等邊三角形，∴A′B＝BC＝4．∴的最大值為4．

 練習

1．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC＋ED的最小值是              ．

解：過點C作CO⊥AB于O，延長CO到，使O=OC，連接D，交AB于E，連接B，此時DE+CE=DE+E=D的值最小．連接B，由對稱性可知∠BE=∠CBE=45°，∴∠CB=90°，∴B⊥BC，

∠BC=∠BC=45°，∴BC=B=2，∵D是BC邊的中點，∴BD=1，根據勾股定理可得：

D=

，故EC+ED的最小值是

模型2兩動點一定長

模型實例

如圖，∠AOB=30°，∠AOB內有一定點，且.在上有一點，上

 一點．若立△周長最小，則最小周長是多少？

 模型3兩定點一定長

例題：在平面直角坐標系中，矩形OABC如圖所示，點A在x軸正半軸上，點C在y軸正半軸上，且OA＝6，OC＝4，D為OC中點，點E、F在線段OA上，點E在點F左側，EF＝2.當四邊形BDEF的周長最小時，求點E的坐標．

練習

1．在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A(3，0)，B(0，4)，D為邊OB的中點．

(1)若E為邊OA上的一個動點，求△CDE的周長最小值；

(2)若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF＝1，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標．