數學文化 | 什么是數論？

數論是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質。

整數可以是方程式的解(丟番圖方程)。有些解析函數(像黎曼ζ函數)中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關系，并且用有理數來逼近實數(丟番圖逼近)。

1.初等數論

初等數論主要就是研究整數環的整除理論及同余理論。此外它也包括了連分數理論和少許不定方程的問題。本質上說，初等數論的研究手段局限在整除性質上。

初等數論中經典的結論包括算術基本定理、歐幾里得的質數無限證明、中國剩余定理、歐拉定理(其特例是費馬小定理)、高斯的二次互反律， 勾股方程的商高定理、佩爾方程的連分數求解法等等。

2.解析數論

借助微積分及復分析(即復變函數)來研究關于整數的問題，主要又可以分為乘性數論與加性數論兩類。乘性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討素數分布的問題，其中質數定理與狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題，華林問題是該領域最著名的課題。

3.代數數論

將整數環的數論性質研究擴展到了更一般的整環上，特別是代數數域。一個主要課題就是關于代數整數的研究，目標是為了更一般地解決不定方程求解的問題。

代數數論更傾向于從代數結構角度去研究各類整環的性質， 比如在給定整環上是否存在算術基本定理等等。

這個領域與代數幾何之間的關聯尤其緊密， 它實際上也構成了交換代數理論的一部分。它也包括了其他深刻內容，比如表示論、p-adic理論等等。

4.幾何數論

主要在于通過幾何觀點研究整數(在此即格點， 也稱整點)的分布情形。最著名的定理為Minkowski定理。這門理論也是有閔科夫斯基所創。對于研究二次型理論有著重要作用。

5.計算數論

借助電腦的算法幫助研究數論的問題，例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的課題。

6.超越數論

研究數的超越性，其中對于歐拉常數與特定的riemann ζ函數值之研究尤其令人感到興趣。此外它也探討了數的丟番圖逼近理論。

7.組合數論

利用組合和機率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的復雜結論。這是由保羅·艾狄胥開創的思路。比如蘭伯特猜想的簡化證明。

8.算術代數幾何

這是數論發展到目前為止最深刻最前沿的領域， 可謂集大成者。它從代數幾何的觀點出發，通過深刻的數學工具去研究數論的性質。比如懷爾斯證明費馬猜想就是這方面的經典實例。整個證明幾乎用到了當時所有最深刻的理論工具。

當代數論的一個重要的研究指導綱領，就是著名的郎蘭茲綱領。

●哥德巴赫猜想:是否每個大于2的偶數都可寫成兩個質數之和?

●孿生素數猜想:孿生素數就是差為2的素數對，例如11和13。是否存在無窮多的孿生素數?

●斐波那契數列內是否存在無窮多的素數?

●是否存在無窮多的梅森素數?(指形如2-1的正整數，其中指數p是素數，常記為Mp 。若Mp是素數，則稱為梅森素數)

●1995年懷爾斯和理查·泰勒證明了歷時350年的費馬猜想(費馬大定理)。

●黎曼猜想