泰勒公式的佩亞諾余項形式的導出

思想:

微分是用自變量偏差h的線性函數(shù)Ah逼近函數(shù)值的偏差。

是否可以用h的多項式來逼近這個偏差？多項式顯然是比一次函數(shù)更加精確的。這個想法用公式可以寫為:

這個多項式可以想象為是一步一步迭代得到的，從1到n。把第k步的估計誤差進一步研究，看是否能用的線性函數(shù)逼近上一步誤差，也就是看是否能寫成。這和微分的思想是一樣的：線性化。

在n=1的時候，這個多項式是一次的，也就是微分。成立的條件是處存在一階導數(shù)，就是可微的條件。

當n＞1，可以猜測，上式成立的條件是處存在n階導數(shù)。下面寫成定理的形式。

定理

如果在某鄰域有定義且在點處存在n階導數(shù)，那么

定理的證明過程

證明的思想是數(shù)學歸納法。用到的基本概念是導數(shù)的概念。另外還用到了另一個分析學本身提供的工具:柯西中值定理。(柯西中值定理在這里是可用的，因為處存在n階導數(shù)蘊含了前n-1階導數(shù)是在的某個領(lǐng)域可微的。

n=1時定理顯然是正確的。n=1時，x0處一階導數(shù)存在，那個多項式正是微分的定義式。

根據(jù)數(shù)學歸納法，下面要做的是：證明n=m時定理的正確性蘊含了n=k+1時定理的正確性。

n=m的定理可寫成：如果在某鄰域有定義且在點處存在m階導數(shù)，那么

在此基礎(chǔ)上，要證明n=m+1的定理是正確的，即：如果在某鄰域有定義且在點處存在m+1階導數(shù)，那么

在n=m+1的定理的條件實際上蘊含了n=m的定理的條件，由于假定了n=m的定理成立，那么根據(jù)n=m的定理得到：

要證明n=m+1的定理，可以考慮把上式中的用的線性函數(shù)逼近，即。

這里需要解釋的是：為什么可以認為n=m+1情況下的多項式的前m項是與n=m的多項式相同的？用反證法可以解釋，若n=m+1情況下的表達式寫為

做差可以得到

顯然，要保證等號右邊是的高階無窮小，必須對1到m的所有k滿足=0。這樣，從n=m到n=m+1的多項式的差別實際就是在原來的基礎(chǔ)上加了一項。

所以，證明n=m+1的定理要做的工作就是證實：

正如微分的存在等價于導數(shù)存在，上式成立當且僅當以下極限存在：

為了分析上述極限，需要借助柯西中值定理。(在這里，要注意對于以上分式，到柯西中值定理最多連續(xù)應(yīng)用m次，因為m+1階導數(shù)只知道僅僅在這一點存在而不是在一個臨域都存在。)連續(xù)應(yīng)用m次柯西中值定理可以得到：

其中，

現(xiàn)在需要考慮：是什么？顯然可以猜到它與處的m階導數(shù)有關(guān)。實際上就是要確定這個多項式的系數(shù)。根據(jù)n=m的定理知道

那么

連續(xù)使用m次柯西中值定理得

其中，。那么

這里，用到了的連續(xù)性。因為m+1階導數(shù)在存在，m階導數(shù)在某鄰域存在且可微。

把式（13）代入式（9）得

那么

為了分析式（15）的極限，需要用到分析學的一個基本概念：導數(shù)。因為處存在m+1階導數(shù)，因此極限是存在的且極限值為，因為它就是的定義式。所以極限是存在的，極限值為

這樣，我們已經(jīng)在n=m的定理成立的前提下證明了n=m+1的定理，那么原命題也是成立的。

并且我們還在證明過程中得到：多項式中第k項的系數(shù)為

那么定理所表述的結(jié)果可以寫為：

這就是泰勒公式的佩亞諾余項形式。