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一、原型再現(xiàn) 唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:"白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河"詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題. 這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫，一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題. 如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點宿營，請問怎樣走才能使總的路程最短?  這個問題的解決并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它，從此，這個被稱為"將軍飲馬"的問題廣泛流傳. 將此實際問題抽象成以下數(shù)學(xué)問題 問題1：如圖1，在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.  簡析：如圖2，作出定點B關(guān)于定直線l的對稱點C，連接AC，與定直線l的交點Q即為所要尋找的點，即當(dāng)動點P跑到了點Q處，PA+PB最小，且最小值等于AC. 解決這個的主要思想是：“對稱轉(zhuǎn)化”，即通過作其中一個定點關(guān)于定直線的對稱定點，轉(zhuǎn)化兩點之間的距離最值，再結(jié)合本質(zhì)原理“兩點之間，線段最短”. 二、模型變形 變式1（異側(cè)型）： 問題2：如圖3，已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè),且PQ間長度恒定（長度為d）,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。  簡析：如圖4，過點A作平行于直線m的線段AC使AC=d，連接BC交直線m于一點即為點Q，過點A作CQ的平行線交直線m于點P；因為線段PQ長度恒定，所以PA+PQ+QB最小值就轉(zhuǎn)化為PA+QB的值最小，由平行四邊形性質(zhì)可知PA=CQ，所以PA+QB就轉(zhuǎn)化為CQ+QB的最小值，結(jié)合“兩點之間線段最短”即可解釋. 上面對于問題2的解決，主要思想是“平移轉(zhuǎn)化”！
變式2（同側(cè)型）： 問題3：如圖5，已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè),且PQ間長度恒定（長度為d）,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小.  簡析：如圖6，過點A作平行于直線m的線段AC使AC=d，作點B關(guān)于直線m的對稱點B’，連接B’C交直線m于一點即為點Q，過點A作CQ的平行線交直線m于點P；因為線段PQ長度恒定，所以PA+PQ+QB最小值就轉(zhuǎn)化為PA+QB的值最小，由平行四邊形性質(zhì)和對稱性質(zhì)可知PA=CQ、BQ=BQ’，所以PA+QB就轉(zhuǎn)化為CQ+QB’的最小值，結(jié)合“兩點之間線段最短”即可解釋. 上面對于問題3的解決，主要思想是“對稱轉(zhuǎn)化”和“平移轉(zhuǎn)化”！
變式3（過河問題）： 問題4：如圖7，已知A、B是兩個定點，兩條平行直線l與m之間的距離為定值d，在定直線l上找一動點M，在定直線m上找一動點N，且MN始終垂直于定直線l（或m），使AM+MN+NB最小.  簡析：如圖8，主要思想是平移轉(zhuǎn)化，同學(xué)們請自行嘗試解釋. 初中階段所學(xué)過的具有軸對稱特征的圖形均可作為“將軍飲馬”問題的背景，關(guān)鍵是找到“那條河”，然后利用對稱轉(zhuǎn)化、平移轉(zhuǎn)化等思想就可輕松解決問題，下面讓我們進入實戰(zhàn)演練. 三、實戰(zhàn)演練 例1.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點，且AE=3，點Q為對角線AC上的動點，則△BEQ周長的最小值為 ．  簡析：第一步：作圖，此圖為飲馬模型，找到“那條河”了嗎？只不過它斜著的，即為AC，因此只要作出點B或點E關(guān)于AC的對稱點，再利用兩點之間線段最短就可解釋.因為正方形為軸對稱圖形，AC就是對稱軸之一，所以點B關(guān)于AC的對稱點就是點D，連接DE與AC交于點Q即為所求；第二步：計算，利用勾股定理易得△BEQ周長的最小值為6. 例2.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點.   （1）若E為邊OA上的一個動點，當(dāng)△CDE的周長最小時，求點的坐標(biāo)； （2）若E、F為邊OA上的兩個動點（E點在F點左邊），且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標(biāo). 簡析：（1）第一步：作圖.這是典型的“飲馬問題模型”，首先找到“那條河”，再利用對稱轉(zhuǎn)化即可解決.如圖，可以作點D關(guān)于軸的對稱點D'，連接CD'與x軸交于點E，此時△CDE的周長是最小的.這樣，你只需求出的長，就可以確定點E的坐標(biāo)了.第二步：計算.利用一次函數(shù)或相似均可求解，點E的坐標(biāo)為（1,0）. 第一步：作圖，此問題為飲馬問題變式2，利用“平移轉(zhuǎn)化”和“對稱轉(zhuǎn)化”解決問題.如圖11，取CG=2，作點D關(guān)于x軸的對稱點D’，連接GD’，交x軸于一點即為點E，再過點C作GD’的平行線交x軸于一點即為點F；第二步：計算，同上亦可采用函數(shù)法和相似法求解，解得E、F點坐標(biāo)分別為（三分之一，0）、（三分之七，0）.
四、配套練習(xí) 1．如圖所示，正方形ABCD的邊長為6，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為 ．  2.如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，EM+CM的最小值為____________.  3.如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，點M在⊙O上，∠MAB=20°,N是弧MB的中點,P是直徑AB上的一動點，若MN=1，則△PMN周長的最小值為__________.  4.如圖，在菱形中ABCD，AB=6，∠ABC=60度，點M、N分別在AB、AD邊上，AM=AN=2，P是對角線BD上的動點，則PM+PN的最小值是 . 4.如圖，在菱形中ABCD，AB=6，∠ABC=60度，點M、N分別在AB、AD邊上，AM=AN=2，P是對角線BD上的動點，則PM+PN的最小值是 . 6.如圖，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3.動點P滿足S矩形ABCD=3S△PAB.則PA+PB最小值為____. |
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