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隨著近幾年公務員考試“高燒不退”的現象持續升溫，國考試題的難度也越來越大。行程問題做為一種每年必考的題型，在試題的創新性上有很大的出題空間。綜觀幾年的真題，常規題型雖是每年考試的“主力”，但更加復雜的“多次相遇”問題已在這兩年里初試鋒芒。筆者通過歸納總結，對多次相遇問題可能在今后考試中出現的幾種模型一一向大家進行展示，希望對備考的廣大考生起到拋磚引玉的作用。 “多次相遇”問題有直線型和環型兩種模型。相對來講，直線型出題的模型更加復雜。環型只是單純的周期問題。現在我們分開一一進行講解。首先，來看直線型多次相遇問題。 一、直線型 直線型多次相遇問題宏觀上分“兩岸型”和“單岸型”兩種。“兩岸型”是指甲、乙兩人從路的兩端同時出發相向而行；“單岸型”是指甲、乙兩人從路的一端同時出發同向而行。現在分開向大家一一介紹： （一）兩岸型 兩岸型甲、乙兩人相遇分兩種情況，可以是迎面碰頭相遇，也可以是背面追及相遇。題干如果沒有明確說明是哪種相遇，考生對兩種情況均應做出思考。 1、迎面碰頭相遇： 如下圖，甲、乙兩人從A、B兩地同時相向而行，第一次迎面相遇在a處，（為清楚表示兩人走的路程，將兩人的路線分開畫出）則共走了1個全程，到達對岸b后兩人轉向第二次迎面相遇在c處，共走了3個全程，則從第一次相遇到第二次相遇走過的路程是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了2個全程。所以第三次相遇共走了5個全程，依次類推得出：第n次相遇兩人走的路程和為（2n-1）S，S為全程。 而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分開看每個人都是2倍關系，經常可以用這個2倍關系解題。即對于甲和乙而言從a到c走過的路程是從起點到a的2倍。
相遇次數 全程個數 再走全程數 1 1 1 2 3 2 3 5 2 4 7 2 … … … n 2n-1 2 2、背面追及相遇 與迎面相遇類似，背面相遇同樣是甲、乙兩人從A、B兩地同時出發，如下圖，此時可假設全程為4份，甲1分鐘走1份，乙1分鐘走5份。則第一次背面追及相遇在a處，再經過1分鐘，兩人在b處迎面相遇，到第3分鐘，甲走3份，乙走15份，兩人在c處相遇。我們可以觀察，第一次背面相遇時，兩人的路程差是1個全程，第二次背面相遇時，兩人的路程差為3個全程。同樣第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，單看每個人多走的路程也是第一次的2倍。依次類推，得：第n次背面追及相遇兩人的路程差為（2n-1）S。
（二）單岸型 單岸型是兩人同時從一端出發，與兩岸型相似，單岸型也有迎面碰頭相遇和背面追及相遇兩種情況。 1、迎面碰頭相遇： 如下圖，假設甲、乙兩人同時從A端出發，假設全程為3份，甲每分鐘走2份，乙每分鐘走4份，則甲乙第一次迎面相遇在a處，此時甲走了2份，乙走了4份，再過1分鐘，甲共走了4份，乙共走了8份，在b處迎面相遇，則第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次類推，可得出：當第n次碰頭相遇時，兩人的路程和為2ns。
2、背面追及相遇 與迎面相遇相似，假設全程為3份，甲每分鐘走1份，乙每分鐘走7份，則第一次背面相遇在a處，2分鐘后甲走了2份，乙走了14份，兩人在b處相遇。第一次相遇，兩人走的路程差為2S，第二次相遇兩人走的路程差為4S，依次類推，可以得出：當第n次追及相遇時，兩人的路程差為2ns。
“直線型”總結（熟記） ①兩岸型： 第n次迎面碰頭相遇，兩人的路程和是（2n-1）S。 第n次背面追及相遇，兩人的路程差是（2n-1）S。 ②單岸型： 第n次迎面碰頭相遇，兩人的路程和為2ns。 第n次背面追及相遇，兩人的路程差為2ns。 下面列出幾種今后可能會考到的直線型多次相遇問題常見的模型： {模型一}：根據2倍關系求AB兩地的距離。 【例1】甲、乙兩人在A、B兩地間往返散步，甲從A，乙從B同時出發，第一次相遇點距B 60米，當乙從A處返回時走了10米第二次與甲相遇。A、B相距多少米？ A、150 B、170 C、180 D、200 【答案及解析】B。如下圖，第一次相遇在a處，第二次相遇在b處，aB的距離為60，Ab的距離為10。以乙為研究對象，根據2倍關系，乙從a到A，再到b共走了第一次相遇的2倍，即為60×2=120米，Ab為10，則Aa的距離為120-10=110米，則AB距離為110+60=170米。
{模型二}：告訴兩人的速度和給定時間，求相遇次數。 【例2】甲、乙兩人在長30米的泳池內游泳，甲每分鐘游37.5米，乙每分鐘游52.5米。 兩人同時分別從泳池的兩端出發，觸壁后原路返回，如是往返。如果不計轉向的時間，則 從出發開始計算的1分50秒內兩人共相遇多少次？ A、2 B、3 C、4 D、5 【答案及解析】B。題目沒說是迎面還是背面，所以兩種相遇的次數都應該計算。分開討論，如是是迎面相遇，則走的全程的個數為 {模型三}：告訴兩人的速度和任意兩次迎面相遇的距離，求AB兩地的距離。 【例3】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發，在A、B間不斷往返行駛。甲車每小時行 20千米，乙車每小時行50千米，已知兩車第10次與第18次迎面相遇的地點相距60千米， 則A、B相距多少千米？ A、95 B、100 C、105 D、110 【答案及解析】C。走相同時間內，甲乙走的路程比為20：50=2：5。將全程看成7份，則第一次相遇走1個全程時，甲走2份，乙走5份。以甲為研究對象（也可以以乙），第10次迎面相遇走的全程數為2×10-1=19個，甲走1個全程走2份，則走19個全程可走19×2=38份。7份是一個全程，則38份共有38÷7=5…3份（當商是偶數時從甲的一端數，0也是偶數；當商是奇數時從乙的一端數，比如第1個全程在乙的一端，第2個全程在甲的一端）從乙端數3份。同理當第18次相遇，甲走的份數為（2×18-1）×2=70份。共有70÷7=10個全程，10為偶數在甲的端點。如下圖：
則第10次相遇與第18次相遇共有4份為60千米，所以AB長為 w點評：對于給定任意兩次的距離，主要是根據速度轉化為全程的份數，找一個為研究對象，看在相遇次數內走的全程數，從而轉化為份數，然后根據一個全程的份數，將研究對象走的總份數去掉全程的個數看剩余的份數，注意由全程的個數決定剩余的份數從哪一端數。 【例4】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發，在A、B間不斷往返行駛。甲車每小時行 45千米，乙車每小時行36千米，已知兩車第2次與第3次迎面相遇的地點相距40千米， 則A、B相距多少千米？ A、90 B、180 C、270 D、110 【答案及解析】A。法一：同上題。相同時間，甲、乙路程比為45：36=5：4，則將全程分成9份。則一個全程時甲走5份，乙走4份。以甲為研究對象，第2次相遇，走的全程數為2×2-1=3個，則甲走的份數為3×5=15份，一個全程為9份，則第2次相遇甲走的份數轉化為全程的個數為15÷9=1…6份，則從乙端數6份。第3次相遇走的份數為（2×3-1）×5=25份，轉化為全程的個數為25÷9=2…7，則從甲端數7份。如下圖：
由圖第2次和第3次相遇之間共有4份為40千米，則AB相距 法二：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解題的前提是題干中已知兩人的速度。將速度轉化為相同路程的條件下兩人的時間比，則以時間為刻度，畫出兩人到達對岸的路線圖，兩人走的路線圖相交的點即為兩人相遇的地點。s-t圖中的路線因像古代記時間的沙漏故稱為“沙漏模型”。本題中，甲、乙走到端點用的時間比為36：45=4：5。如下圖：
根據路線圖看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交點E和O，根據三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2，則求得第2次相遇距A地的比例為S/3，同理DO:ON=7：2，則第3次相遇距A地的比例為7S/9，則兩次相遇比例為 w點評：考生如果能掌握“沙漏”模型，則會直觀快速的提高解題速度。用交點判斷是迎面相遇還是背面相遇的技巧：看相交的兩條線是由同一岸引出還是兩岸，同一岸則說明是背面相遇，不同岸則說明是迎面相遇。 用時注意：一般題干涉及到的相遇次數較少時可畫，相遇次數太多，則會花費大量時間，不利于提高速度；畫時的單位刻度要看時間比，如果時間比中的數據較大可把刻度畫大。 {模型四}：告訴兩人的速度，相遇次數較少時，利用s-t圖形成“沙漏”模型速解。 【例5】A、B兩地相距950米。甲、乙兩人同時由A地出發往返鍛煉半小時。甲步行，每 分鐘走40米；乙跑步，每分鐘行150米。則甲、乙二人第幾次迎面相遇時距B地最近。 A、1 B、2 C、3 D、4 【答案及解析】B。利用“沙漏模型”。甲乙走到端點用的時間比為150：40=15：4，半小時兩人共走的全程數為
觀察上圖可知，可第3次迎面相遇的過程中，甲乙有一次背面相遇（交點由同一點引出）。而在三次迎面相遇中第2次相遇離B地最近，并且可根據三角形相似求出離B地的距離。 【例6】河道賽道長120米，水流速度為2米/秒，甲船靜水速度為6米/秒，乙船靜水速度 為4米/秒。比賽進行兩次往返，甲、乙同時從起點出發，先順水航行，問多少秒后甲、 乙船第二次迎面相遇？ A、48 B、50 C、52 D、54 【答案及解析】C。由題知，得出如下關系：
注：（ ）中為走完全程的時間。 假設A到B是順流，由上表可知甲、乙兩人第2次迎面相遇共有4個全程。由于甲的速度快，則第2次相遇前甲已走了2個全程。共15+30=45秒。當第45秒時乙走了一個順流全程20秒和25秒的逆流，走的路程為25×2=50米，則在剩余的70米內，甲乙分別以順流和逆流相遇時間為t，則有70=（8+2）×t，求得t=7秒，則共用時間45+7=52秒。
本題同樣可用“沙漏模型”解決。根據上表中的速度關系，可得出一個全程時的時間關系如下：
根據時間的關系，得出s-t圖像，如下：
觀察上圖，可看出第二次迎面相遇在P點，以甲為研究對象計算時間，此時甲走了一個順流，一個逆流，另外EP段為順流，根據三角形相似可求出走EP用的時間EP:PN=EF:MN=7:8，由上表，求出走EP用的時間為 二、環型 環型主要分兩種情況，一種是甲、乙兩人同地同時反向迎面相遇（不可能背面相遇），一種是甲、乙兩人同地同時同向背面追及相遇（不可能迎面相遇）。分開討論如下： （一）甲、乙兩人從A地同時反向出發： 如下圖，一個周長分成4份，假設甲是順時針每分鐘走1份到B，乙是逆時針每分鐘走3份到B，則第一次相遇兩人走了1個周長，則再過1分仲，甲再走1份到C，同樣乙走3份也到C，則第二次相遇共走了2個周長，依次類推，可得出：第n次迎面相遇共走了n圈。
（二）甲、乙兩人從A地同時同向出發： 如下圖，全程分成4份。假設甲、乙兩人都是順時針同時出發，甲每分鐘走1份，乙每分鐘走5份，則1分鐘后兩人在B處第一次背面追及相遇，兩人走的路程差為1個周長。再過1分鐘后，甲到C處，乙也到C處，兩人第二次背面追及相遇，多走的路程差同樣為一個周長，依次類推，可以得出：第n次背面追及相遇，路程差為n圈。
環型多次相遇問題相對比較簡單，當甲、乙不在同一地點出發時相對具有難度。比如在直徑兩端出發。考生可通過下面的例題把握。 【例1】老張和老王兩個人在周長為400米的圓形池塘邊散步。老張每分鐘走9米，老王每 分鐘走16米。現在兩個人從同一點反方向行走，那么出發后多少分鐘他們第三次相遇？ A、33 B、45 C、48 D、56 【答案及解析】C。第一次迎面相遇時間為400÷（9+16）=16，則第三次迎面相遇時間為16×3=48。 【例2】小明、小亮從400米環形跑道的同一點出發，背向而行。當他們第一次相遇時，小 明轉身往回跑；再次相遇時，小亮轉身往回跑；以后的每次相遇分別是小明和小亮兩人交 替調轉方向，小明速度3米/秒，小亮速度5米/秒，則在兩人第30次相遇時小明共跑了 多少米？ A、11250 B、11350 C、11420 D、11480 【答案及解析】A。由題意知，第1次是迎面相遇，第2次是背面追及相遇，之后都是迎面與背面相遇交替。則在30次相遇中，迎面相遇15次，背面相遇15次。迎面相遇一次用時為400÷（3+5）=50，背面相遇一次用時為400÷（5-3）=200，則30次相遇共用時為 15×（50+200）=3750s，則小時在這段時間里跑的路程為3750×3=11250米。 【例3】甲、乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反方向繞此圓形路 線運動，當乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇， 則這個圓形場地的周長為多少米？ A、320 B、360 C、420 D、480 【答案及解析】D。如下圖，假設甲、乙分別在直徑A、B兩端以順時針和逆時針運動。第1次相遇在C點距B點100米，第2次相遇在D點，距A點60米。
當在直徑端點兩岸行走時，可將環型轉化為直線型，則第2次相遇每個人走的路都是第1次相遇的2倍。以乙為研究對象，則從C到D走的路是B到C的2倍，即200米，因AD為60米，則CA為200-60=140米，所以半個周長為100+140=240米，周長為240×2=480米。
總結 對于多次相遇問題，近幾年隨著題目難度的上升，會逐漸成為考試的主角。考生在備考中要有意識的培養上述幾種模型的解題技巧，尤其是直線型的多次相遇問題，對于給定兩者速度的題目，且相遇次數較少時能熟練運用“沙漏模型”解題，可直觀有效地提高解題的速度。對于環型，不像直線型那么復雜，注意處理好相遇次數，是迎面還是追及相遇，運用公式可快速解題。最后希望上述幾種模型的解題技巧對各位考生能起到拋磚引玉的作用，同時祝各位充分備考的考生能取得一個理想的成績！ 聯系方式： 電話：18217365716 郵箱：sz-qinzm@htexam.com 華圖教育 秦志敏 |
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