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?關(guān)于黎曼猜想的三個故事 * * * 這兩天數(shù)學(xué)界有個大新聞，說的是世界上最偉大的數(shù)學(xué)家之一的邁克爾· 阿提亞，這位將近九十歲的老爺爺剛剛宣布說，他已經(jīng)把黎曼猜想證明出來了。 ? 邁克爾·阿提亞爵士，英國數(shù)學(xué)家 主要研究領(lǐng)域為幾何，當代最偉大的數(shù)學(xué)家之一 作者：Gert-Martin Greuel 圖片來源：維基百科 “黎曼猜想”是數(shù)學(xué)這座大山上，最頂級的問題。如果真的被證明出來了，那么，這將是本世紀以來，數(shù)學(xué)界最大的一件事。 關(guān)于這個黎曼猜想，有三個數(shù)學(xué)家的故事你可以聽一聽。聽完了這三個故事，你對于黎曼猜想，可能會產(chǎn)生新的想法。 | 黎曼是誰？ 我先說第一個故事，是關(guān)于黎曼本人的故事。 黎曼是一個非常偉大的數(shù)學(xué)家，但他一生過得非常悲慘。 ? 波恩哈德·黎曼 （1826-1866） 德國數(shù)學(xué)家，黎曼幾何學(xué)創(chuàng)始人 圖片來自維基百科 黎曼生活的時代，相當于我們的清朝末年。他的爸爸是個鄉(xiāng)下的牧師，黎曼全家八口人，就靠他爸爸一個人養(yǎng)，所以他們家非常窮。窮到黎曼的幾個兄弟姐妹從小就吃不飽、穿不暖，全都營養(yǎng)不良。 黎曼除了營養(yǎng)不良外，他還有個特別的地方，就是很害羞，一跟人說話就臉紅、緊張，他特別希望哪兒也不去，整天就在家呆著。 黎曼一生中有一段非常痛苦的時候，是在他十四歲的時候。你可能猜不到，黎曼直到十四歲，他才第一次上學(xué)。你想象一下，假如你有一個同學(xué)，他從小沒上過幼兒園，沒上過小學(xué)，這輩子第一次進學(xué)校直接進的就是初中，而且這個人還害羞，還不愛交朋友，因為營養(yǎng)不良身體還特別弱。那你說，他能不被人欺負么？ 所以，黎曼年輕的時候是非常痛苦的。 后來，黎曼終于畢業(yè)了，但是他賺的錢也很少。他一開始在大學(xué)里當?shù)氖恰盁o薪講師”。這個“無薪講師”意思就是說，你是大學(xué)老師，但是你沒有工資，你的收入是學(xué)生自己給的。也就是說，有幾個學(xué)生聽課，你就拿幾個人的錢。 可是黎曼這人害羞啊，特別不會說話，而且因為他特別聰明，講課的時候經(jīng)常跳步驟，所以講課的效果就特別不好。因為他自己覺得有的解題步驟很容易，一眼就能看出來，他就略過不講，可是學(xué)生在底下聽不懂啊，提問說“哎呀老師您給我講一下唄，什么意思啊這都是”。這就讓害羞的黎曼很窘迫，課都講不下去。 所以，黎曼的學(xué)生就特別少，他的第一門課只有八個人聽。學(xué)生少，收入就低。有一段時間，他的全家都靠他當郵遞員的弟弟養(yǎng)著。 總而言之，黎曼過了一段很艱苦的生活，后頭情況終于有了一些好轉(zhuǎn)。他當上了柏林科學(xué)院的通訊院士。按照慣例呢，你當這個院士，就需要交一篇論文，講一下你現(xiàn)在在干嘛。黎曼就交了一篇論文。 這篇論文寫得非常粗糙，就十頁，里面有很多數(shù)學(xué)步驟都跳過去了。比如很多地方黎曼是寫成這樣的，說：“這事兒我很想弄明白，但是我沒來得及，我現(xiàn)在也不知道是怎么回事兒。” 但是，這篇論文后來在數(shù)學(xué)史上非常重要。你要注意了，在這篇論文里，黎曼一共提出了六個猜想。在這個論文發(fā)表之后的三十年里，其中五個猜想都被解決了，只留下最后一個猜想，那就是我們現(xiàn)在說的“黎曼猜想”。 那黎曼猜想為什么厲害呢？ 有一個寫數(shù)學(xué)史的作家，打了一個比方，他說，數(shù)學(xué)家可以分成兩種，一種是邏輯型的，一種是直覺型的。 你看邏輯型數(shù)學(xué)家的論文，就像攀巖，它每一步都走在堅實的論證上，走穩(wěn)了一步，再走下一步。他的推理過程非常嚴謹。 而直覺型數(shù)學(xué)家呢，他的論文就像空中飛人。他動不動就把自己扔到天上去，撒手在天上飛。觀眾看著以為他會有危險，結(jié)果他飛到一半，正好能抓住另一個鉤。他心里是有底的。黎曼就是這種直覺型的數(shù)學(xué)家。 這是什么意思呢？就是黎曼看問題，里面是缺邏輯的。他不知道里面的邏輯一步步怎么回事，但是他知道這個問題的方向通向哪兒，而且他說的這個方向還特別準。 黎曼猜想就是這么一種東西。 我們現(xiàn)在來說一下什么是黎曼猜想，黎曼猜想是一個關(guān)于質(zhì)數(shù)規(guī)律的猜想。 ? 黎曼猜想手稿 圖片來源：www.claymath.org 你在上小學(xué)五年級的時候，會學(xué)到質(zhì)數(shù)。簡單地說，一個比1大的整數(shù)，不能被1和它自身之外的其他整數(shù)整除，這個數(shù)就叫質(zhì)數(shù)。比如2、3、5、7、11、13都是典型的質(zhì)數(shù)。 質(zhì)數(shù)有個非常特別的地方是，直到今天，也沒有數(shù)學(xué)家能夠精確描述出質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的規(guī)律。找到質(zhì)數(shù)的規(guī)律，是數(shù)學(xué)界最大的一個難題。 黎曼也不知道怎么解決這個問題，但是他能猜出答案來。 他猜出的結(jié)果，就是黎曼猜想。 今天有一個我很崇拜的科普作家，叫恩特老師（@Ent_evo）。我在微博和豆瓣網(wǎng)已經(jīng)關(guān)注他很多年了。恩特老師對黎曼猜想，有一個描述特別好。我現(xiàn)在復(fù)述一下他的說法—— “我們可以用最簡單的話描述黎曼猜想，就是說，有一個關(guān)于質(zhì)數(shù)的數(shù)學(xué)公式，按照這個數(shù)學(xué)公式，你能畫出無窮多個點。因為我們不知道質(zhì)數(shù)分布的規(guī)律，所以按照常理來說，我們是不能精確預(yù)測出這些點在哪兒的。結(jié)果黎曼就發(fā)現(xiàn)，這些點竟然是有規(guī)律的。黎曼認為，所有的這些點，一定會排列成兩條直線。絕對不會有例外”。 黎曼認為存在這樣的規(guī)律，但是他自己證不出來。世界上其他的數(shù)學(xué)家，也都證不出來。 但是我們有一個笨辦法，可以證明這個猜想是錯的。你想，在黎曼猜想里不是有無數(shù)個點么，那我們就挨個去試這些點。只要我們發(fā)現(xiàn)有一個點在這兩條直線外，我們就可以證明黎曼猜想是錯的了。 于是數(shù)學(xué)家們就去試。數(shù)學(xué)家們試驗了幾十年，試到今天，人類借助計算機，已經(jīng)試了10萬億個點，還是沒有發(fā)現(xiàn)例外。10萬億是個非常巨大的數(shù)字，所以很多人就覺得，黎曼猜想很可能是對的。甚至于數(shù)學(xué)家們已經(jīng)在用黎曼猜想解決了很多數(shù)學(xué)和物理問題。可見黎曼發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律，它是真的有用的。 現(xiàn)在唯一的問題就是，我們不知道這個有用的規(guī)律是怎么推導(dǎo)出來的。 這種情況，就好比我們今天的科學(xué)家能生產(chǎn)出一個傳送門，能把你送到任意空間。這傳送門超級好用，一用就靈，一點毛病沒有，可是這個門的原理，我們竟然不知道。如果我們能找到這個原理，肯定藏著巨大的價值。這就是黎曼猜想的價值。 好了，現(xiàn)在你大概知道了，黎曼猜想是怎么回事了。 | 為黎曼“癡狂”的希爾伯特 我們剛剛講完了關(guān)于黎曼猜想的第一個故事——黎曼本人的故事。這還沒完，我再給你講第二個故事。這個故事的主人公也是一個數(shù)學(xué)家，叫做希爾伯特。 ? 大衛(wèi)·希爾伯特（1862-1943），德國數(shù)學(xué)家 19世紀和20世紀初最具影響力的數(shù)學(xué)家之一 圖片來自維基百科 希爾伯特在數(shù)學(xué)史上做過一件非常有名的事，他在“第二屆國際數(shù)學(xué)家大會”上，提出了他認為最重要的23個數(shù)學(xué)問題。因為希爾伯特在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有很深的洞見，所以這23個問題，就成了當時數(shù)學(xué)界的綱領(lǐng)。就相當于希爾伯特給當時的數(shù)學(xué)家們指出了方向說，你們就應(yīng)該朝這23個方向前進。 希爾伯特提出的這23個問題，有一些很快就被解決了，有一些雖然沒有解決，但是進展也不錯，只有一個問題進展特別慢，那就是黎曼猜想。 希爾伯特本人非常關(guān)心黎曼猜想。 據(jù)說，有一次，他的一個學(xué)生，給他交來一篇論文，說自己證明了黎曼猜想。希爾伯特一看，這論文證得特別漂亮。但是，希爾伯特從里面發(fā)現(xiàn)一個錯誤，也就是說這個論文是有缺陷的。但是沒關(guān)系，咱繼續(xù)努力嘛。 后來非常可惜，這個學(xué)生第二年去世了。希爾伯特非常痛苦，他就跟這個孩子的父母說：“我想在葬禮上，給這個孩子發(fā)表一個悼詞”。孩子父母就同意了。 葬禮那天，天上下著大雨，親友們在墓地邊上哭，希爾伯特就上來致悼詞，說：“哎呀，這個孩子啊，這么有才華，年紀輕輕，太可惜了。雖然他證的這個黎曼猜想有錯，但是我認為咱將來一定能攻克”。說到這里，希爾伯特突然興奮了，說：“好，咱們現(xiàn)在就來考慮一個復(fù)變函數(shù)……”結(jié)果，他就在自己學(xué)生的葬禮上，激情地講起了那個數(shù)學(xué)證明。 這個故事的意思是說，希爾伯特對黎曼猜想特別關(guān)心。甚至在葬禮這么一個場合，他都忍不住要去談黎曼猜想的證明。 據(jù)說還有人問過希爾伯特一個問題，說：“如果你沉睡了幾百年，然后醒過來，你想干什么？”希爾伯特說，“我想問問有人把黎曼猜想證出來了嗎？我太想知道了”。 | 差點成功的哈代 我們當然知道，黎曼猜想后來一直也沒有被解出來。但是在之后的很多年里，有很多數(shù)學(xué)家都為黎曼猜想付出過心血。比如我接下來要講的第三個數(shù)學(xué)家哈代。 ? 戈弗雷·哈羅德·哈代（1877-1947） 英國數(shù)學(xué)家，被認為是二十世紀英國分析學(xué)派的代表人物 圖片來自維基百科 哈代這人很了不起，希爾伯特對哈代的評價很高，認為他是英國最好的數(shù)學(xué)家。但是哈代這個人的性格很逗，他特別“皮”。他一輩子就是個頑童。 據(jù)說有一次過年，哈代給一個好朋友寫了一封信，信里面寫了他的六個新年愿望。 這六個愿望都特“皮”。 比如有一個愿望是，他希望英國和德國能組成一個社會主義國家，他哈代要當?shù)谝蝗慰偨y(tǒng)；還有一個愿望是，他要當?shù)谝粋€能登上珠穆朗瑪峰的人；還有一個愿望，是他希望能向大眾證明上帝不存在。因為哈代這人特別不信上帝，總拿上帝開玩笑。 而在哈代的六個愿望里，排在第一位的，就是能證明出黎曼猜想。 哈代這人對黎曼猜想是有執(zhí)念的。 哈代37歲的時候，在黎曼猜想上取得了重大突破，這件事讓當時的希爾伯特大受鼓舞。希爾伯特當時甚至以為，自己能在活著的時候看到黎曼猜想被證出來。 但是最后哈代還是沒能把黎曼猜想證出來，所以就有了下面這個故事。 哈代這人不信上帝，又特調(diào)皮。有次他在丹麥準備渡海回家。可是這個時候正好海上風(fēng)浪特別大，坐船很危險。結(jié)果哈代想了想，還是上船了。但是他在上船前，給自己的朋友寫了一張明信片，也有人說是發(fā)了一封電報，里面的內(nèi)容是：“我證明出了黎曼猜想！” 你可能會問了，哈代不是沒證出黎曼猜想么？哈代的思路是這樣的：“萬一船要是沉了，我哈代淹死了，那么別人根據(jù)這個消息，都會相信我真的證明出了黎曼猜想。可是我這人老不尊重上帝，愛拿上帝開玩笑，那上帝他老人家肯定不會讓這么好的事兒，發(fā)生在我的身上。所以上帝肯定不會讓船沉的”。 你看，這就是他跟上帝調(diào)皮了一下。 那么，我們現(xiàn)在想一下，哈代這么想證明黎曼假設(shè)，真的是為了出名嗎？或者是為了錢嗎？其實都不是。 哈代不愛錢，他生前，每出一本書，都會把一部分錢捐出去。他去世后，他的遺產(chǎn)除了留一部分給妹妹外，其余也都捐出去了。哈代還說過：“如果用實用的標準來衡量的話，我的數(shù)學(xué)生涯的價值就是零。”就是說他認為他研究的那些東西其實是沒有用的。 那你說，哈代他為什么要這么執(zhí)著地證明黎曼猜想呢？ 包括前面提到的黎曼也好，希爾伯特也好，他們?yōu)槭裁催@么關(guān)心黎曼猜想呢？ 這個答案，用希爾伯特晚年的一次演講可以回答。 在希爾伯特那個時代，曾經(jīng)有一個科學(xué)家發(fā)表過一個演講，提出了幾個根本的哲學(xué)和科學(xué)問題，他說：“這幾個問題的答案我們不知道，而且我們永遠也不知道。” 這兩句話在當時很流行，可是希爾伯特非常痛恨這兩句話。 在希爾伯特晚年退休的時候，有個電臺邀請他做一個特別的演講。 我在今天這一講的最后呢，給你念一下最后這幾句話。你要注意它的最后兩句，在科學(xué)史上非常有名。希爾伯特就針對那句“我們不知道，而且我們永遠也不知道”，他是這么說的—— “對我們來說沒有什么不可知，以我的看法，對于自然科學(xué)來說也沒有什么不可知。拋棄這個愚蠢的不可知，讓我們決心反其道而行之。我們必須知道，我們必將知道。” 今天的內(nèi)容就是這樣，感謝你的收聽，我們下次再見。 |
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