【九年級專練】特殊的平行四邊形——折疊問題

如圖,菱形紙片ABCD的對角線AC、BD相交于點O,折疊紙片使點A與點O重合,折痕為EF,若AB=5,BD=8,求△OEF的面積。

【解析】

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,BO=OD=1/2BD=1/2×8=4，

∴∠AOB=90°，

在Rt△AOB中,由勾股定理得：AO=3，

∵折疊紙片使點A與點O重合，折痕為EF，AC⊥BD，

∴EF垂直平分AO,EF∥BD，

∴AE=BE,DF=AF,AM=OM=1/2AO=3/2，

∴EF=1/2BD=1/2×8=4，

∵EF⊥AO，

∴∠OME=90°，

∴△OEF的面積為1/2×EF×OM=1/2×4×3/2=3。

如圖,小明同學(xué)在將一張矩形紙片ABCD的四個角向內(nèi)折起時,發(fā)現(xiàn)恰好能拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH.于是他測量出EH=12cm,EF=16cm,根據(jù)這兩個數(shù)據(jù)他很快求出了邊AD的長,求邊AD的長。

【解析】

∵∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，

∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=1/2×180°=90°，

同理可得：∠EHG=∠HGF=90°，

∴四邊形EFGH為矩形。

∴EH=FG,EH∥FG，

∴∠EHF=∠HFG，

∵∠AHE=∠EHF，∠CFG=∠HFG，

∴∠AHE=∠CFG，

∵∠A=∠C，

∴△AHE≌△CFG，

∴AH=CF，

∴AH=CF=FP，

∵HD=HP，

∴AD=AH+HD=PF+HP=HF，

∵HF=20cm，

∴AD=20cm，

如圖,把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開,折痕為MN,再過點B折疊紙片,使點A落在MN上的點F處,折痕為BE.若AB的長為2,求FM的長。

【分析】根據(jù)翻折不變性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．

【解答】

∵四邊形ABCD為正方形，AB=2，過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，

∴FB=AB=2，BM=1，

則在Rt△BMF中，

FM²=BF²-BM²=2²-1²=3

∴FM=√3.