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你好，歡迎來到我的《數學通識50講》。 我們上一講在講函數時說，在函數中，一個變量先變化，另一個隨著它變化。比如圓的半徑R增加一倍，面積S增加到原來的4倍，后者隨著前者變化。 如果我們把這個關系上升為抽象的邏輯關系，那么就是半徑變化是因，面積變化是果。我們用這樣一個箭頭代表確定性的因果關系 R→S，用下面這樣一個函數來表示： S=πR2 通常，我們稱R是自變量，S是因變量，或是自變量R的函數，因變量和函數通常說的是一回事。 如果把上面這種函數關系形象地用曲線表示下來，那么它就是半根拋物線：  注意這個函數只有右半邊沒有左半邊，因為圓的半徑不可能是負數 從這個例子可以看出，函數中的自變量，雖然從名稱上來看，似乎自己怎么變都行，但其實它有一些特定的限制條件或者范圍，比如圓的半徑必須大于等于零就是限制條件。我們在之前講到的幾何數列中每一個數，可以表示成2^N（或者r^N），但是，這個N必須是整數，比如1，2，3，4等等，不能是半個，這就是限制條件。 自變量的取值范圍或者限制范圍，我們稱之為函數的定義域。這里面的域，就是疆域的意思，它表明一個函數所描述的變化規律是有范圍限制的。當一個函數的定義域確定之后，因變量，也就是函數值也就受到了相應的限制。 比如說幾何數列2^N，取值只能是2，4，8，16……這些特定的整數，不可能是2.5這樣的小數數字，甚至不可能是3。函數值的變化范圍，我們稱之為值域，這個名字顧名思義，也很好理解。 類似的，我們上一講所說的現實生活中遇到的各種函數，也能確定因果關系，定義域和值域。 比如班上每一個人的身高，因果關系就是人決定身高，也就是說“人→身高”。函數的定義域是特指班上的人，不是所有的人，他們的身高也在有限范圍之內，比如從1.5米到1.9米，而不是任何的高度。你如果算出一個人的身高是10米，說明一定是什么地方搞錯了。 對于函數，很多人常犯的錯誤在于沒有考慮定義域，濫用函數關系，比如不能假設圓的半徑是負數，然后套用S= πR^2這樣的函數去計算面積。類似的，在生活中，很多函數使用起來也要考慮定義域。 比如對于那些平時成績在90分以上的學生，如果老師每多教10%的內容，他們就能多學會5%，這看似多教是有好處的。但這個函數是有定義域的，對于成績70分以下的人，這個變化規律可能就不成立了，教得越多，成績越差。因此，使用任何規律之前要看條件是否相符，不能錯誤地套用了公式。 講到函數中的因果關系，有兩點需要明確指出。 首先，數學上的因果關系和生活中的可能不完全相同。在物理學等自然科學上，因果關系常常是單方向的。 比如你從比薩斜塔上墜下一個球，它就以自由落體的加速度往下墜落，落地時會有一個速度，這個速度是地球重力加速度導致的，因此加速度是速度的因，而不是反過來，這是非常明確的。再比如，張三在20米外觀看這件事，那么你先扔了球，他才看見，這也是因果關系，不可能倒過來。 但是數學函數中的因果關系未必如此。在一個函數中，自變量和因變量的角色是可以互換的。我們前面說，給定圓的半徑，我們通過一個計算面積的函數S=πR^2，算出面積，因果關系是半徑→面積。 但是在現實生活中也有反過來的情況，比如一家四口人到必勝客吃午飯，需要先根據每一個人的飯量，確定面積是多大的披薩餅才夠吃，然后根據R=√（S/π）再算出半徑（直徑），看看是買14寸的、16寸的，還是18寸的。這時面積就是自變量，半徑就是因變量了。因果關系變成了面積→半徑。 我們同樣可以用x坐標代表面積，y坐標代表半徑，畫一條曲線，就是下面這個形狀，如果你對比前一圖，會發現兩條曲線形狀相似，只是翻轉了一下。更準確地講，它和原來的曲線是相對45度角的對角線對稱的。  為了更完整地描述和研究這種把因和果置換后的函數關系，數學家們提出了反函數的概念，比如y =√(x/π)和y=πx^2就是互為反函數。在笛卡爾坐標系中，反函數的圖和原來函數的圖就總是相對45度角的對角線對稱。 比如下圖是對數函數（藍線）和指數函數（綠線）的關系圖，它們相對對角線紅線是對稱的。  為什么對數函數和指數函數會互為反函數呢？我們不妨從兩個角度看同一件事情就知道了。 比如你購買國庫券10000元，以6%的年息復合增長，請問12年后你的本息一共是多少呢？我們知道X年后的本息Y是一個指數函數：Y=10000*(1.06)^X，代入X=12，大約是20122元。也就是說大約12年后投資翻了一番。 如果我們倒過來問這個問題，今天買10000元國庫券，多少年后才能本息翻一番，那么這就是對數函數的問題了，我們把X作為若干年后的本息總數，Y作為時間，這樣 Y=log（X/10000），算出來大約是11.896年，也就是12年左右。因此，指數函數和對數函數互為反函數。 說到投資，這里給大家講一個計算回報的簡單方法——72定律。假如你的投資回報率是每年R%，那么多少年投資才能翻一番呢？基本上是72/R年。剛才的情況是R=6，大約是12年，如果提高到8%，只要9年就夠了。 別看這2%的差異并不顯大，如果我們把時間放大到36年，也就是一代人的時間，那么回報就是翻番三次和翻番四次的差異了。因此一個人善于理財，還是不善于理財，到退休的時候，財富很容易差出一倍。 接下來我們談談數學上因果關系的第二個注意事項，當一個函數的變化由兩個，或者更多的變量決定時，單個變量和函數之間的因果關系，并不是函數值變化的必然原因。 比如說，我們要計算圓柱體的體積V，它和圓柱半徑R的平方成正比，和圓柱的高度h成正比，即 V=πR2*h 這時，如果高度增加一倍，體積一定增加一倍嗎？我們只能說，有可能，但是前提是半徑要保持不變。反過來從結果看，如果體積增加了一倍，我們也并不知道是否是高度變化所引起的。 如果我們把體積V，半徑R和高度h的關系畫在一個三維的圖中，那么大概是下面這張圖的樣子。從圖中你可以看出，決定體積的因素很復雜。  在多變量的情況下，我們只能得到這樣的結論，就是體積的變化和高度的變化是正相關的，而且相關性是100%，也就是說，在其它條件不變的前提下，一個變大，另一個也必然變大。類似的，體積變化和半徑變化也是100%正相關的。 在生活中，很多人經常把正相關性、因果關系和必然性相混淆。比如說，每年的平均投資回報率和最后拿回來的錢總數是正相關的，這點毫無疑問。但是在投資時，總是找那些回報率高的項目或者投資產品，20年后拿回來的錢一定多么？ 不一定，因為最后能拿回來多少錢，不僅看平均回報率，還要看投資風險，一些高回報的項目也是高風險的。也就是說，平均回報率高，和拿回來的錢多并不形成因果關系。 很多人看到別人投資高風險、高回報的項目發了財，覺得這種好事情也能攤到自己身上，可是等自己真拿出真金白銀投資時，高回報沒有起作用，高風險卻應驗在自己身上了。了解了相關性和必然性的差別，能讓我們少犯錯誤。 在上面計算圓柱體積這個例子中，我們還只有兩個變量，在很多實際問題中，影響結果的變量非常多。比如在經濟學上，美國政府和研究機構公布的各種和經濟有關的指標有上萬個，試圖根據幾個指標就預測今后的趨勢近乎不可能。 在生物體中，情況更加復雜。經濟學上的很多指標好歹還是明確的正相關或者負相關，而生物上很多體征和指標，同我們要找的疾病、遺傳，或者新陳代謝的相關性是非常模糊的。在這種情況下，我們把相關性誤解為有因果關系的必然性，是非常危險的。 但是，我們也不能因為很難確定必然性，就放棄對相關性的探究。只有當我們發現了影響結果的各種變量，并且搞清楚它們和結果之間的相關性，才能對最后結果的走向有一個全面完整的了解。 比如，當我們知道了決定圓柱體質量的三個因素，即它的半徑、高度，以及材料的密度之后，雖然每一個因素都不構成質量增加的因果關系，但是在不同場合，我們就知道該如何調整尺寸和選取材料來達到目的。 學術研究的主要目的，已經從過去那種尋找確定性，變成了挖掘尚未人知的，能影響結果的變量，并且尋找它們和結果之間的相關性。在研究某一個變量的影響時，我們通常要屏蔽其它變量的作用。 比如我們研究體積和尺寸的關系，先要假定半徑是不變的，才能知道高度的影響。但這樣一來，絕大部分學術研究，特別是人文和社會學科的研究，都不得不集中在幾個視角，搞清楚特定變量的影響。這并非研究人員缺乏全局觀，而是整個學術界其實給他們的分工就是如此。 今天很多學術專著，也是從特定視角看待問題。萬維鋼老師講過一句話，人文和社會學科與自然科學領域的特點完全不同，前者更像是江湖，學者們彼此很難互相說服，這其實非常準確地描述了學術界的特點。 了解了這個特點，我們在看學術專著時，就不要把它當作對某個結論全面的論述，而把它們當成是揭示某種相關性的著作就好。 要點總結：只有一個變量的函數，自變量和函數值之間有因果關系，一個變化導致另一個變化。但是，函數的使用要考慮使用范圍，對于任何規律其實都是如此。 由多個變量決定函數值的函數，每個變量和函數值有相關性，有些還是百分之百的正相關，但是它們沒有決定性，也沒有必然的因果關系，切忌把相關性和因果關系混為一談。今天的學術研究通常只能在幾個維度研究相關性，因此對于研究的結論，我們要全面看待。 函數的學習就告一段落，下一講我們學代數模塊的新內容“向量代數”。我們下一講見！——吳軍《數學通識五十講》 |
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