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（小石頭嘗試著來回答這個問題） 用生活中通俗易懂的語言描述微積分為：
更具體的描述如下： 微積分分為微分和積分兩部分，首先，我們來討論什么是微分？ 考慮下面的兩個曲線， 某些生活經驗（比如：膝蓋不小心撞上去的感覺）告訴我們，兩個曲線在A點處的特性不同：
進一步，我們在兩個曲線A點處用直尺畫一條直線，然后放大A點附近的局部： 觀察發現，隨著局部的不斷放大，兩種特性的差異表現明顯，在A點處圓潤的 藍色曲線 和 直線越來越 貼近，而A點處棱角的 綠色曲線 則和 直線 毫不相干。 藍色曲線在A點處的表現，就是微分，具體的數學描述如下： 設 藍色曲線的對應的函數是 f(x)，A 點的 坐標是 (x, f(x))，則可以再 A 處做一個局部坐標 X'AY'： 局部坐標 X'AY' 下，藍色曲線的函數為： Δf(Δx) = f(x + Δx) - f(x) ① 稱其為 函數 f(x) 在 A 點處的變化率，而 直線的函數為： l(Δx) = kΔx ② 其中 k 為常數，表示直線的斜率。 根據，上面的分析，我們知道 隨著 Δx 的減小，Δf(Δx) 和 l(Δx) 越來越 貼近，也就是說，它們的差 Δf(Δx) - l(Δx) 也會越來越小。那么具體，如果描述 這種 貼近呢？ 很自然我們會想到： 當 Δx 趨近于 0 時， Δf(Δx) - l(Δx) 也趨近于 0。③ 但是，這用來描述貼近，顯然不夠，因為考慮綠色曲線（上半段）， 發現 Δf(Δx) - l(Δx) = (k'-k) Δx, 也滿足 當 Δx 趨近于 0 時， Δf(Δx) - l(Δx) 也趨近于 0，但顯然 它們不 貼近。于是我們對上面的描述，進行調整： 當 Δx 趨近于 0 時， (Δf(Δx) - l(Δx)) / Δx 也趨近于 0（即，Δf(Δx) - l(Δx) 比 Δx 更快的趨近于 0） ③‘ 這樣，對于綠色曲線 (Δf(Δx) - l(Δx)) / Δx = (k'-k) 顯然是非零常數，就被排除了。 令 o(Δx) = Δf(Δx) - l(Δx) 稱 為 Δx 的高階無窮小量，并將，③‘ 寫成極限形式為： 于是最終得到： 這個公式就是 函數 f(x) 在 A 點處的微分。 由 ④, ① 和 ② 有： 等式兩邊取極限，再 根據 ③' 得到： 令， 稱f'(x) 為 f(x) 在 A 處的導數，當 A 點取滿 f(x) 的整個定義域時，稱 f'(x) 為 f(x) 的導函數，f(x) 為 f'(x) 的原函數。 至此，微分就討論完畢，接著，我們討論什么是積分？ 積分又分為：不定積分 和 定積分，先說 不定積分。 設 f(x) 是 函數 F(x) 的導函數，即，f(x) = F'(x)，現在已知 f(x) 求原函數 F(x)，令， 稱為不定積分。 也就是說，不定積分，就是求導的 逆運算。 然后是，定積分 也稱為 黎曼積分，我們看一則故事（本故事純屬虛構）： 自從阿基米德發明排水法后，測量不規則物體的體積已經不是問題。有一天，阿基米德去餐館吃午餐結果忘了帶錢，剛好老板也是一個數學愛好者，于是老板對阿基米德說：“如果 阿基米德先生 可以 只用 帶刻度的直尺 測量出土豆的體積，這一頓就免費”。阿基米德最近正在用割圓法計算圓周率，于是很快找到了解決問題的方法： 只見他，迅速用直尺的將土豆切成土豆條，然后將每個土豆條近似當做 長方體，用 直尺量出其長寬高，進而計算出 每個土豆條的近似體積，最后將 所有 土豆條 的體積加起來就是整個 土豆的體積。 餐館老板，提出質疑，認為 將 土豆條 近似的 當做 長方體，不準確。阿基米德，反問到： 如果，我將每個土豆條在改刀成 更細的 土豆條，是不是就更精確了？ 餐館老板，想了一想，土豆條不準確，就是因為兩端是土豆的不規則表面，如果 土豆條根細，那么 規則表面的面積就會更小，誤差就會更新。于是回答：是 阿基米德，接著解釋：既然，將 土豆條 繼續細分，就會得到更高的 精度，那么無限細分下去，總可以得到 準確的 值。 餐館老板雖然不得不承認這個結果，仍然不滿意，他認為：這樣無限細分下去，無法結束，因此最終還是得不到這個 準確的 值。 阿基米德，接著說：在現實中，當然不能，但是在數學中就可以了。 可是餐館老板，依舊不買賬，正當兩人爭執的不可開交時，旁邊桌子上，一個年輕人站了起來，說：二位不要爭論了，我愿意為這位 阿基米德 先生 付錢。 于是，阿基米德吃完免費的吃午，回去繼續計算他的圓周率去了。 而這個年輕人，也馬上也返回了自己的住所，并按照 阿基米德 想法，用數學的方法對切土豆進行了 描述，這就是：黎曼積分。這個年輕人就是 黎曼。 最簡單的黎曼積分可以用于計算 函數 f(x) 和 X 軸 在 區間 [a, b] 之間 圍成的 曲邊梯形 面積，
我們在 a 和 b 之間插入一系列點： a = x? < x? < ... x_{n-1} < b = x_n 這樣將 一個大的 曲邊梯形 Λ = ay?y_nb 分割為 一系列小的 曲邊梯形： δ?, ... δ_n 其中， 任意 小曲邊梯形 δ? = x???y???y?x? 的面積近似于 小矩形 σ? = x???y’???y‘?x? 的面積： S? = f(ξ?) Δx? 這里， ξ? 是 x??? 和 x? 之間任意一點，Δx? = x? - x???。 于是 Λ 的 面積 S 就近似為，這些 小矩形 的 面積之和：
讓，λ = max{Δx?, ..., Δx_n} ， 則 當 λ → 0 時，S' → S，記為：
這就 黎曼積分。
最后，是著名的 牛頓-萊布尼茲公式：
它將 不定積分 和 定積分 關聯在一起。 誠如故事所述的那樣，黎曼積分不僅可以用于計算曲邊梯形面積，還可以計算三維物體的體積，當然還可以 計算，更高維度物體的體積，曲線的質量，物體沿曲線做的功，另外，微分也還可以擴展到 多維 函數 和 向量函數的情況，這些內容屬于《多元微積分》其基本原理 和 上面 所述的《一元微積分》類似，這里就不展開討論了。 （由于小石頭數學水平有限，出錯在所難免，歡迎各位老師和同學批評指正！） |
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