|
微積分這三個字想必大家都聽說過，大部分人都覺得它很神秘，很“高冷”，草稿先生寫這篇文章就是想讓大家初步了解下微積分，知道“哦，原來微積分就是這么回事”，減少對它的恐懼感。今天的這篇文章，保證讓0基礎(chǔ)的人都能看懂（看不懂就刷新一下 進入正題，0基礎(chǔ)都能看懂的微積分 00 基礎(chǔ)知識 雖然說是這么說的，但真的0基礎(chǔ)確實聽不懂，所以草稿先生很貼心地準備了一些基礎(chǔ)知識：
附：兩點確定一條直線。 1^2+2^2+...+n^2=1/6 * [ n (n+1) (2n+1) ] 常數(shù)：在函數(shù)中固定不變的數(shù) v-t圖像：表示速度與時間的關(guān)系 01 什么是微積分 我第一次見到這幾個字是在《可怕的數(shù)學》里的某一本書看見的，當時傻乎乎得啥也不知道，以為積分就是游戲里的得分，微分就是個類似的東西 02 微分 既然它的名字是“微積分”而不是“積微分”，那我們就從微分說起吧。要了解微分，首先需要知道斜率和導(dǎo)數(shù)。 首先從斜率說起。斜率通俗點說就是傾斜程度（很通俗啊）。比如開車，這段路陡，傾斜程度就大；這段路平，傾斜程度就小。
直線的斜率k，就是從直線一個點到另一個點的垂直距離（Δy）除以它們的水平距離（Δx），即 k=Δy/Δx.同一條直線上的k都一樣。 （如果覺得不好理解可以聯(lián)想買菜，買菜的時候一塊錢1公斤，兩塊錢2公斤，五毛錢半公斤，不管買多少菜的價格都是一塊錢1公斤） 直線的斜率是好求了，那曲線怎么求？就比如第一張圖上的曲線F(x)，一會兒快速上升一會兒緩慢上升，更有甚者（比如第一張圖的G(x)），居然還玩起了下降，這就導(dǎo)致曲線每一點上的斜率不都一樣，看來我們是無法求整條曲線的斜率了（因為不存在），那有沒有辦法求一個點的斜率呢？答案是，有的。
我們?nèi)∏€左邊的很多點An，一個一個和A（x0,y0）連線，會發(fā)現(xiàn)所得直線越來越趨近于直線l，當An與A的距離無限小但不等于0（等于0的時候兩點重合，一點無法確定一條直線）的時候，就把AnA（直線l）叫做曲線F(x)的切線（在這個圖的情況下，如果從右邊開始使也有一樣的結(jié)果）關(guān)于點A的切線在A附近只與曲線交于A點。 切線是當An與A兩點之間距離無窮小的時候確定的直線。作為一條直線，它也有它的斜率k=Δy/Δx.（只不過Δx和Δy都接近0，但它們的比值卻越來越接近一個固定的數(shù)，這個固定的數(shù)就是該點切線的斜率） 這是萊布尼茨的研究成果，他把Δx和Δy重新取名為dx和dy，把它們稱為微分，就得到了切線的斜率為k=dy/dx. 如果聽到這兒你還覺得比較輕松，那么恭喜你，微分部分的內(nèi)容，就是這些。 有了這個公式，人們就開始研究起曲線各點的斜率了，比如一個很常見的函數(shù)y=x^2，人們就研究出來函數(shù)在點（1，1）處的斜率是2，在點（2，4）處的斜率是4，……但是有沒有一種辦法把這條曲線上所有點的切線斜率都表示出來呢？
經(jīng)過數(shù)學家的不斷努力探索，最后還就真找到了可以表示曲線斜率的工具：導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的意思就是表示曲線在某一點時的斜率，比如上面這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是y'=2x.（帶進去上面的數(shù)試一試可以發(fā)現(xiàn)是滿足的）求導(dǎo)數(shù)（求導(dǎo)）有特殊的運算方法，基本上可以把所有函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都算出來（甚至是像y=x^11+4x+5.14/x +2.5^x這樣的或者更復(fù)雜的函數(shù)）。（求導(dǎo)是一個運算，打'表示導(dǎo)數(shù)） （C，a，μ都是常數(shù)）
在這張表里面別的都不用看，就看上下兩個（1）就行了，一個常數(shù)函數(shù)（比如y=1）的導(dǎo)數(shù)是0，把它和其他函數(shù)相加，新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)相同（其實就是把原函數(shù)上下平移了幾格，切線斜率還是不變的）所以，加減常數(shù)不會影響導(dǎo)數(shù)。
03 積分 接下來讓我們看看我們的另一大主角——積分，先引入一個場景：求含有曲線的圖形的面積。從小學我們就開始學習圓等含曲線圖形的面積，但是對于圓以外的圖形來說，如何求它們的面積變成了一大難題（阿基米德就曾經(jīng)思考過這種問題），而解決這種難題的方式就是積分。 下面我們舉一個例子：求x=0,x=1,y=0,y=x^2圍成的圖形的面積：（圖形和四分之一圓不同）
如何求這塊圖形的面積呢？我們可以用分割法來求解：把圖形在0到1之間分成n等份，在0到1的n等分點A1,A2,……，An上做垂直于x軸的垂線與y=x^2交于B1,B2,……,Bn，再構(gòu)造很多長方形，最后把所有長方形的面積加到一起就近似于這個圖形的面積：
S曲≈S1+S2+S3+S4.但是顯然這些長方形的面積和與S還差很多，那就讓我們進一步細分：
此時S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8+S9就更加接近于S了，如果進一步細分，還會更加接近。當n趨近于無窮大時（即分的非常非常細時），所有長方形的面積和就可視作等于S.此時用數(shù)學方法進行演算就可得到S1+S2+...+Sn=1/3.（具體過程如下，看看就行） S1+S2+...+Sn=1/n * (1/n)^2 + 1/n * (2/n)^2 + ... + 1/n * (n-1 / n)^2 =1/n * [ (1/n)^2 + ... + (n-1 / n)^2] =1/ n^3 *[1^2+2^2+...+(n-1)^2] =1/ n^3 * [n*(n-1)*(2n-1)/6] //用了開頭的公式 =2 n^3 / 6 n^3 - 3 n^2 / 6 * n^3 + n/6 * n^3 =1/3- 1/2n + 1/6 n^2. ≈1/3 //因為n無限大，所以類似于 1/n 的式子都趨近于0 這就是用積分法求解含曲線圖形的面積（當然應(yīng)用也不只局限在這里，一些其他的問題也能用積分做）。為了方便，還誕生出了定積分的符號：
然而微分和積分之間有什么關(guān)系呢？它們?yōu)槭裁醋罱K會走到一起呢？ 04 微積分 首先我們要回顧一下導(dǎo)數(shù)。在導(dǎo)數(shù)那里我們說過求導(dǎo)有一個逆運算，就是求原函數(shù)。 什么叫求原函數(shù)呢？比如我給你一個函數(shù)y=x^2，你現(xiàn)在可以很快說出它的導(dǎo)數(shù)是y'=2x，但如果我說一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是y'=2x，那你能很快求出這個函數(shù)（原函數(shù)）嗎？恐怕不是這么容易。事實上這個函數(shù)是且僅是y=x^2+C（C是常數(shù)，不會影響導(dǎo)數(shù)）這一過程就是求導(dǎo)的逆運算——求原函數(shù)，也被稱為不定積分。不定積分有什么意義呢？繼續(xù)往下看。
警報！！！物理來襲?。。?/p> 拿物理舉一個例子。我們畫一段運動的v-t圖像：
稍微用一點物理知識就可以得到，中間圍起來的黑色部分面積就是物體運動的路程（準確說是位移）。對速度函數(shù)v(t)進行積分可以得到路程值s，對s(t)進行求導(dǎo)也可以得到v(t)，這就說明，對v(t)求原函數(shù)就可以得到路程值s！ 此時，已知f(x)我們有兩種方法可以求出F(x)：一種是求定積分（即之前算面積那一塊的內(nèi)容），一種是求原函數(shù)↑。根據(jù)這些，牛頓和萊布尼茨分別得出了同一個公式，也就是微積分基本定理（牛頓——萊布尼茨公式）： 函數(shù)f(x)在a到b之間連續(xù)（也就是沒有下圖這種情況，這里曲線在x=1處斷掉了）
且存在F(x)，則：
我們可以驗算一下前面的那個例子：用定積分做得出S=1/3，用不定積分做得出F=x^3 / 3 +C（不要問我為什么，問就是不定積分表），F(xiàn)(1)-F(0)=(1/3+C) - (0+C)=1/3. 這就是微積分的核心思想。正是有了這個公式，數(shù)學家們才得以借助它大殺四方。 注：整個微積分中用到了很多次“無窮小但不等于0”這個概念，它有些時候不能當作0（這樣就可以作除數(shù)），有些時候可以當作0（加減法的時候就可以約掉），這個矛盾的現(xiàn)象要解釋很麻煩（要用極限），而且很難理解，不符合我們普及知識的初衷，所以草稿先生就不寫了（有更系統(tǒng)的文章具體講解這一點） 微積分大概淺談完畢，但大家有沒有想一個問題，那就是我們?yōu)槭裁匆獙W微積分，草稿先生為什么要花4個多小時寫這篇3000多字的文章？出門買菜用不上，中考高考也不考（敢用就扣分）。但是草稿先生希望大家看完這篇文章之后，對數(shù)學能有一個新的認識：數(shù)學不僅僅有一堆枯燥的，看不懂的符號，也有壯觀的邏輯之美。數(shù)學最令人著迷的就是它嚴密的邏輯。當數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)和求原函數(shù)互為逆運算，牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)微積分基本定理，無窮小的問題終于得到解決時，我相信，他們都是自豪且快樂的。大部分人無法忍受數(shù)學計算帶給他們的痛苦，但那些真正喜歡數(shù)學的人，他們絕對能夠看到數(shù)學的內(nèi)在美和應(yīng)用之廣。 回到開頭，到底是什么偶然事件讓我發(fā)現(xiàn)了這本書。上個月月考草稿先生物理沒考好，草稿媽站在書架前一邊嘚嘚一邊翻哪些物理題可以做，然而眼尖的草稿先生卻看到這本《微積分初步》，物理于我而言不是云里就是霧里，哪有數(shù)學好玩，于是趁草稿媽不注意就把這本書帶到了學校。最后我想說的是看在這篇3600多字的文章，她應(yīng)該不會……，我保證我會好好學物理的，雖然壓強浮力真的有點煩。 |
|
|
）既然是科普文，就以普及知識為目的了，有些地方可能就沒有那么嚴謹，請見諒
后來才知道它的真正含義。首先大家要明白，微分和積分是兩個東西，不是一個東西。從字面意思上也能知道，微分的大概意思就是把一個東西分開研究這些小部分，積分的大概意思就是把很多小東西合到一起（比如積木，積少成多都是這個意思），了解了這些就會更加容易地理解微積分。
