極簡(jiǎn)微積分——開(kāi)啟萊布尼茨的積分之路

想想一下下面這個(gè)式子：

(1)

這個(gè)是我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)的導(dǎo)數(shù)表示形式，它標(biāo)識(shí)F(x)的導(dǎo)數(shù)等于2x。那么能想象一下F(x)等于多少嗎？

逆微分運(yùn)算

這并不會(huì)難倒我們：

(2)

沒(méi)錯(cuò)這很簡(jiǎn)單，而且再仔細(xì)思考我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)在(2)式右面加個(gè)常數(shù)似乎也并不會(huì)改變它對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的值：

然后我們更進(jìn)一步把那些看似隨意的常數(shù)改寫為：

（3）

c是個(gè)任意的值,(3)的導(dǎo)數(shù)同樣是等于2x的，因?yàn)槌?shù)的導(dǎo)數(shù)為0。這樣我們便總結(jié)出了下面一個(gè)定理：

如果F(x)和G(x)在同一個(gè)區(qū)間上具有相同的導(dǎo)數(shù)，那么F(x)和G(x)便會(huì)相差一個(gè)常數(shù)，也就是說(shuō)存在一個(gè)常數(shù)c使得任意x在這個(gè)區(qū)間上具有如下性質(zhì)：

(4)

那么怎么證明這個(gè)說(shuō)法是正確的呢？我們可以從導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則去考慮這個(gè)問(wèn)題：

也就是說(shuō)G(x)-F(x)應(yīng)該是一個(gè)常數(shù)，以此來(lái)滿足導(dǎo)數(shù)為0的結(jié)果。因此可驗(yàn)證這個(gè)定理的正確性。

不定積分有多少

由上面所敘述的情況，我們可以知道，如果F(x)和f(x)給定，并且：

（5）

那么我們說(shuō)F(x)是f(x)的一個(gè)不定積分，并且這個(gè)找出不定積分的過(guò)程叫做積分運(yùn)算，而且我們也意識(shí)到f(x)的不定積分應(yīng)該有無(wú)窮多個(gè)，他們之間相差一個(gè)常數(shù)，我們可以統(tǒng)統(tǒng)表示為：

第一個(gè)不定積分

在歷史上，萊布尼茨把(5)中f(x)的不定積分表示為：

它讀作f(x)dx的不定積分，這是不定積分的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式，而且我們注意到f(x)dx是F(x)的微分形式的一部分，我們?cè)诤竺鎸?huì)認(rèn)識(shí)到微分表示形式將會(huì)給積分計(jì)算帶來(lái)無(wú)以言表的便利。

既然知道積分和導(dǎo)數(shù)是相互反向的運(yùn)算，我們可以在沒(méi)有積分計(jì)算法則的條件下嘗試一下冪函數(shù)不定積分公式的推導(dǎo)：

這樣最后這個(gè)公式就符合我們追求完美的變態(tài)態(tài)度了，給定一個(gè)冪函數(shù)，我們就可以找出它對(duì)應(yīng)的所有不定積分。

我們是模擬萊布尼茨當(dāng)時(shí)研究微積分時(shí)的角度去對(duì)知識(shí)做嘗試性的探索和發(fā)現(xiàn)的，這樣比較符合人類認(rèn)識(shí)和理解事物的特征，留下的印象也會(huì)比較深刻，一旦將來(lái)有所遺忘，也能順著這個(gè)思路自己把知識(shí)推導(dǎo)出來(lái)。