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數學專家張鶴老師——關于函數性質教學的思考 何謂函數性質？從函數概念的角度理解，就是當函數的自變量x滿足某種規律的變化引起函數值y的有規律變化. 如對于函數的對稱性質的理解，我們關注比較多的是函數圖象關于直線x=a或關于點（a,b）成中心對稱，但這實際上只是函數對稱性質的圖象特征，是函數性質的直觀表達.函數對稱性質的本質應該是它的代數特征，即這個對稱性質應該是從函數的自變量的變化特點以及相對應的函數值的變化規律來進行刻畫的：具有對稱性的函數取和為2a的兩個自變量的值的時候，其對應的兩個函數值要么相等、要么其對應的兩個函數值的和為2b.這是一個函數關于某條直線或某個點對稱的最本質的描述，也是要在我們的教學中能夠讓學生理解的. 只有明確了函數對稱性的本質，也就是明確了它的代數特征，我們才能夠準確地運用數學符號語言表達出函數的這種對稱性.即根據函數的兩個自變量其和為常數2a的特點可以表示為x和2a-x，再根據其對應的因變量的變化規律，就可以用數學符號語言表達出函數的這種對稱性了：f(x)=f(2a-x)或f(x)+f(2a-x)=2b.函數對稱性質的圖象特征是根據上述數學符號所表達的等式從幾何的角度理解而得到的.如f(x)=f(2a-x)告訴我們，當取以a為中點的兩個點的橫坐標所對應的自變量時，對應的縱坐標（也就是因變量）相等.這個特征反映在幾何上就是函數的圖象關于直線x=a對稱.同樣，f(x)+f(2a-x)=2b意味著當取以a為中點的兩個點的橫坐標所對應的自變量時，對應的縱坐標（也就是函數值）的和為2b，也就是對應的兩個點的縱坐標是以b為中點縱坐標.因此，滿足這個等式的函數圖象關于點（a,b）為中心對稱. 可以看出，函數性質的代數特征是最本質的，它決定了如何用數學的符號語言來表達出函數的這種對稱性，而函數圖象的幾何特征是由其代數特征所決定的，并通過理解數學的符號語言所表達出來的代數特征而得到的.換句話說，當學生在寫出類似f(x)=f(2a-x)或f(x)+f(2a-x)=2b這樣的數學符號語言所表示的等式的時候，他（她）首先在自己的思維中是經歷了函數對稱性質的代數特征的思考.同樣，只有當他（她）能夠從用數學的符號語言所表達的等式中讀出函數的代數特征，也才能夠從中得到函數圖象的幾何特征. 研究函數性質的邏輯順序是怎樣的？先講函數的單調性，再講函數的奇偶性，這種研究函數性質的順序是有邏輯問題的.的確，函數的整體變化狀態的研究非常重要.但是，如果這個函數具有對稱性質的話是可以使這種性質的研究簡化一半的.換言之.函數的對稱性也是函數變化狀態的一部分，相對每個區間上的函數單調性的變化更具有整體性.因此先研究函數的對稱性再研究函數的單調性，進而研究它的周期性及函數值的分布等等，這種順序更符合邏輯.當然，函數的周期性與函數的對稱性與單調性沒有必然的邏輯關系，對于函數周期性的研究相對而言不受其它性質研究與否的約束. 在我們的函數教學中，老師們在引領學生針對某一個具體函數進行研究的時候，定義域、值域總是相伴在一起讓學生說出來，可是細想一下，對于函數單調性還沒有進行研究的情況下，怎么會得到函數的極大（小）值，進而得到最大（?。┲?，從而得到值域呢？這個順序顯然也是不符合知識的邏輯的. 畫函數的示意圖要比用描點法畫圖的價值重要.對于基本的函數圖象我們更多的是使用描點法，特別是在函數學習的初始階段運用描點法畫函數的圖象.這一方面是因為描點法可以讓學生通過列表描點的過程感受函數的自變量與因變量之間的這種對應關系，另一方面也是因為受學生還沒有完全掌握函數性質的局限.而函數的示意圖是依據函數性質畫出來的，它不是函數的真實圖象，也談不上是否接近函數的真實圖象.但它直觀地表達了函數的性質，運用函數的示意圖足以幫助我們直觀地接近函數的本質.畫出函數示意圖的教學價值體現在由于這個圖依賴于函數性質的研究，而函數性質的研究是函數教學最為重要的任務.因此.隨著學習的不斷深入，教師應該引導學生學會研究函數性質，運用性質畫出函數的圖象.只有這樣才能夠真正地提高學生的數學思維能力與研究問題的能力. 總之,在函數性質的教學中，教師要充分重視對函數解析式的研究，要運用函數的思維去理解分析依托于函數解析式的自變量x與因變量y的關系，從而進一步深入理解函數性質的本質，這也正是教給學生研究函數解析式的意義價值所在.    |
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