算法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-概率論最重要兩個(gè)結(jié)論：大數(shù)定律及中心極限定理

今天介紹的兩個(gè)概率論中的非常重要的概念，大數(shù)定律和中心極限定理。這兩個(gè)規(guī)律告訴我們，在不確定的世界里也是有規(guī)律可循的。

大數(shù)定律說(shuō)的是部分?jǐn)?shù)據(jù)在某些條件下可以反映總體規(guī)律，是對(duì)大系統(tǒng)可通過(guò)對(duì)其抽樣來(lái)研究整體特性的的理論基礎(chǔ)。專業(yè)一點(diǎn)的說(shuō)法是隨機(jī)變量序列的前一些項(xiàng)（部分）的算術(shù)平均值在某種條件下收斂算術(shù)平均值（整體）。是不是很簡(jiǎn)單啊！和以往一樣，我們不關(guān)注定理的推導(dǎo)，如果有興趣可以看一下教材（用到了切比雪夫不等式）。比如說(shuō)我們抽檢一批產(chǎn)品的合格率是否滿足要求，而產(chǎn)品的數(shù)量非常多比如有幾十萬(wàn)個(gè)，我們會(huì)抽樣n個(gè)批次，每一批次的抽樣都可以看成一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，三批抽樣的合格率的平均值如果都在95以上，我們就會(huì)認(rèn)為整批產(chǎn)品的合格率超過(guò)了95%。這個(gè)依據(jù)就是大數(shù)定律。這個(gè)大數(shù)和我們平時(shí)看到被熱炒的大數(shù)據(jù)中的大數(shù)還不是一回事，但在抽樣這個(gè)角度確實(shí)有些關(guān)聯(lián)。要注意以下大數(shù)定律應(yīng)用的條件，就是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，并且隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立（可以簡(jiǎn)單理解為每一次試驗(yàn)是獨(dú)立的，相互之間沒(méi)有關(guān)系）。條件大家一定要注意，不然會(huì)用錯(cuò)。

大數(shù)定律有兩個(gè)，一個(gè)叫辛欽大數(shù)定律-弱大數(shù)定律，還有一個(gè)叫伯努利大數(shù)定律。本質(zhì)上講的是一回事，伯努利大數(shù)定理說(shuō)了另外一件事就是如果事件A可能發(fā)生，那么在足夠多的嘗試后就一定會(huì)發(fā)生（這不就是墨菲定律嘛，機(jī)場(chǎng)、高鐵站都有得賣，其實(shí)概率論里早就說(shuō)清楚了，我還買了一本，哈哈哈）舉個(gè)例子，如果有天上掉餡餅的可能，那么在足夠多的天數(shù)的情況下這個(gè)餡餅一定會(huì)掉下來(lái)。腦洞開一下，如果氨基酸和蛋白質(zhì)有可能隨機(jī)形成，那么在足夠長(zhǎng)的時(shí)間里一定會(huì)形成，如果生命有可能出現(xiàn)，那么在足夠長(zhǎng)時(shí)間里，一定會(huì)出現(xiàn)啊！！天哪，進(jìn)化論難道是這么理解嗎？如果這么推論，那么一定會(huì)有外星智慧生命啊！（細(xì)思極恐）

中心極限定理討論的是一種特殊的分布-正態(tài)分布出現(xiàn)的條件。之前我們介紹過(guò)，很多隨機(jī)現(xiàn)象都滿足正態(tài)分布，比如電路的熱噪聲、男人身高的分布等等。這個(gè)定理告訴我們，正態(tài)分布出現(xiàn)的充分必要條件（在科研的時(shí)候會(huì)用的著，如果我們看到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布，那說(shuō)明實(shí)驗(yàn)一定滿足了正態(tài)分布的條件，那個(gè)漂亮個(gè)高斯曲線實(shí)在是太熟悉了）。這個(gè)條件是啥呢？

均值和方差存在的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，那么他們疊加的結(jié)果，當(dāng)n充分大的時(shí)候，分布是滿足0-1正態(tài)分布！！！！我的天啊，這不就是說(shuō)如果結(jié)果是正態(tài)的，那么一定是由多個(gè)獨(dú)立同分布的現(xiàn)象疊加起來(lái)的嘛！！！！我們實(shí)驗(yàn)中看到的那個(gè)結(jié)果高斯曲線，是若干不確定結(jié)果疊加的必然現(xiàn)象啊！所以，那些個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)呈現(xiàn)出來(lái)的某種狀態(tài)很可能滿足高斯分布，放心的用高斯函數(shù)去擬合吧！

中心極限定理還可以用其他兩種形式，一個(gè)叫李雅普諾夫定理，一個(gè)叫隸莫佛-拉普拉斯定理。李氏定理說(shuō)的是不論相互獨(dú)立的隨機(jī)變量各自分布如何，當(dāng)n(隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)）足夠大的時(shí)候，也滿足正態(tài)分布。后面那個(gè)定理說(shuō)的是二項(xiàng)分布的極限為正態(tài)分布！其實(shí)都是中心極限定理的某種補(bǔ)充和特例。從中心極限是不是可以得出，正態(tài)分布這個(gè)形式是復(fù)雜系統(tǒng)不確定性的一般規(guī)律呢？大家各自發(fā)揮想象吧。

至此，所有概率論的中的重點(diǎn)內(nèi)容介紹完了！