介紹Lax&Terrell的兩本微積分教材

《微積分及其應用》和《多元微積分及其應用》封面

作者 | 林開亮

今年6月，科學出版社出版了 Lax & Terrell 的《多元微積分及其應用》中譯本，這是《微積分及其應用》（中譯本由科學出版社2018年出版）的續篇?？紤]到《微積分及其應用》頗受讀者歡迎，作為譯者，我們這里對這兩卷書略作介紹，希望有助于大家更好地了解它們。

當今之世，Lax 與 Serre 可以說是當時最高壽（今年兩位均94歲，Lax略長）的大數學家。非常巧的是，兩位都是 Wolf 獎、Abel 獎得主，而且兩位都非常擅于寫書。Serre 的書《數論教程》、《有限群的線性表示》中譯本列入高等教育出版社“丘成桐數學翻譯叢書”；Lax 的書《線性代數及其應用》和《泛函分析》中譯本均列入人民郵電出版社“圖靈叢書”。不過這幾本教材都面向數學專業的研究生。我們這里所介紹的微積分教材則面向本科生，尤其是非數學專業的本科生。

《泛函分析》封面

早在1976年，Lax 就與他的妻子 Anneli 一起寫了一本微積分教材，后于1980年由人民教育出版社出版其中譯本《微積分及其應用與計算》。如 Lax于2005年在接受 Abel 獎的訪談中所透露的：“在我的微積分書中，代替逐點連續性，我提倡一致連續性……我也有許多其他想法，我還想重寫我的微積分教材，我在找一位好的合作者?！盠ax 找到的合作者就是康奈爾大學數學系的Terrell，他們重寫的教材即《微積分及其應用》與《多元微積分及其應用》，均收入斯普林格出版社的品牌叢書——本科生數學教材(UTM)，分別于2014年與2017年出版。順便說一句，UTM 與其姊妹 GTM（研究生數學教材，Serre的兩本教材就屬于該系列）是兩套非常有影響力的數學叢書，國內世界圖書出版公司引進了其影印版，對于當代的大學生和研究生來說，直接閱讀英文版應該沒有困難。而世界圖書出版公司近期組織翻譯了UTM叢書中的幾本名著，分別是：鐘開萊的《初等概率論》與《隨機積分導論》，沙法列維奇的《代數教程》(此書高中生就可以閱讀)、Stephen Abbott的《分析入門》與杜武亮的《流形導引》（此書我也參與翻譯）。

六年前，當我在為大一新生上高等數學（一個更好的稱謂是“微積分”）而備課時，發現了 Lax & Terrell 的《微積分及其應用》，如獲至寶。于是邀請昔日的好友一起翻譯此書，兩卷書前后共譯五年。作為譯者，我們從中也受益匪淺。下面就簡單談談我對這兩卷書的認識。

Lax 強調對理論與應用的結合。在理論方面，這兩卷書不拘泥于瑣碎細節，利用一些方便常用的定義（如一致連續與一致收斂、光滑有界集）簡化了對定理的理解與證明。這在第二卷《多元微積分及其應用》尤其顯著。眾所周知，對多元函數的教學，兩個緊密相關的重點和難點是：1、曲線積分與曲面積分；2、格林定理、散度定理與斯托克斯定理。借助于向量分析的語言，Lax & Terrell 在《多元微積分及其應用》第七、八章將這兩部分內容作了簡單明了的闡述。我們相信，想要對這些內容獲得清晰認識的讀者，是絕不會失望的。說到這里，我聯想起臺灣中央研究院數學所前所長劉太平教授在《數學傳播》的一篇專訪中指出的教學問題：“我們教書有太多的東西要教，比如微積分, 當 Stokes 定理都學過了, 但卻連較初等的, 像 divergence (散度)代表什么，常沒有時間仔細想過?！?Lax & Terrell 在《多元微積分及其應用》第3.5節就專門介紹了散度與旋度。（順便提一句，受到這一節內容的啟迪，我與另一位譯者吳艷霞在一篇即將發表的小文中解釋了為何不在高維空間提旋度的概念：因為除了三維空間與七維空間以外，其他維數的歐氏空間沒有合適的旋度。）

在應用方面，Lax 舉了許多來自生活與物理的例子。例如，很突出的一個例子，第一卷最后一章講到了概率，在第二卷積分舉例時又提及概率密度函數(pdf)的重要概念，進而在最后一章偏微分方程舉例時提到了薛定諤方程以及量子力學的概率解釋。另一個典型的例子，是從萬有引力定律推導開普勒三定律，這是牛頓的偉大功績之一。講到這里，我想分享另一位 Abel 獎得主 I. Singer 的第一次邂逅數學的經歷（見即將出版的《數學與物理》，高等教育出版社“數學與人文”叢書第31輯）：“我高中時就對科學感興趣，并獲得密歇根大學的獎學金。在密歇根的頭一年，我覺得沒有什么挑戰性，很失望，當一天和尚撞一天鐘，直到在微積分的課堂上，我們的老師講到牛頓如何從他的平方反比定律推導出行星的橢圓軌道。我感覺到，奇妙的事情發生了，這是富有智慧與美妙的事情！我現在仍然能感受這一點，而且常常跟那些門外漢說：'只要想一想人類智慧是何等的卓越；在一張紙上就可以演算出行星的軌道！’真是令人難以置信，事實上恰當的說應該是，令人敬畏。我為那個推導感到激動；這加強了我投身科學的決定。”我想，我們的微積分課堂尤其需要這樣激動人心的例子。Lax & Terrell 的教材就是一個豐富的礦藏。

這兩本書有大量的習題，并且書后有部分習題的答案。其中有許多習題都是有趣的，尤其值得一提的是，在第二卷的練習2.55，作者引導讀者去證明代數基本定理（要知道，這結果可是大數學家高斯1799年博士論文的主題）！

我想還應該指出，考慮到我們的許多大一新生在高中對三角函數的學習并不系統，而 Lax & Terrell 的第一卷專辟章節講三角函數，因此《微積分及其應用》會成為新生學習微積分的絕佳伴侶。

最后，我要特別說明，自《微積分及其應用》中譯本出版后，我們又發現不少可以改進或改正的地方，因此特別列出一個勘誤清單（后臺回復 Lax可直接下載），供讀者參考。歡迎大家多提寶貴意見。

第一卷出版有熱心朋友在知乎上做了宣傳，見這里https://zhuanlan.zhihu.com/p/40274687。

確實，誠如這位朋友指出的，“這本書要說有什么缺點，那就是定價178元實在貴得離譜?！逼鋵嵨覀兯凶g者看到這個定價都覺得超出我們的想象，第二卷更是定價高達188元。于我們譯者而言，翻譯這兩卷書我們其實沒有多少稿酬，實際上還掏了七八萬給出版社引進中譯本版權（感謝我的恩師曾慷慨解囊贊助出版）。我們為什么要做這種事情呢？因為我們只想讓大家看到Lax的新書，希望對大家有益。我們所有譯者，并不希望出版社定價這樣高，因為這偏離了我們的初衷——讓更多的人讀到這兩本書！我寫本文也不是要吹捧這兩本書，我的見解與知乎上這位朋友一樣：Lax的書，無須我多言！我只希望大家知道，學習微積分有這么兩本書，多一個選擇。

《微積分及其應用》

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《多元微積分及其應用》

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《微積分及其應用》一書目錄

《多元微積分及其應用》一書目錄

譯后記

本書《多元微積分及其應用》是《微積分及其應用》的續篇，本著對作者Peter Lax和Maria Terrell的喜愛崇敬與對讀者的負責到底，我們趁熱打鐵完成了本書的翻譯。

本書延續了作者一貫簡明清晰的文風，舉例豐富，注重背景，生動有趣。與其他同類教材相比，本書的一個特色是專辟章節介紹了守恒律與偏微分方程之初等理論。這些內容是Lax本人之專長（偏微分方程）所在，因此完全可以理解他會在課程中引入。在他而言，守恒律乃數學之美妙的體現，參見http://www./portfolio/，中譯文《大雅之美：十位大數學家心中最美的公式》見“數立方”網站（http:///article/article/index/id/515.html）。為方便讀者更好地理解，我們專門邀請了北京工業大學的劉繼濤老師翻譯了《激波的形成與衰減》，這是Lax 多年前發表于《美國數學月刊》的一篇美文，該譯稿收入即將出版的《數學與物理》（高等教育出版社“數學與人文”叢書第31輯）。

考慮到有些讀者可能對兩位作者不太了解，我這里略說幾句，以增進你對本書的認識。

先說作者。Peter Lax是1926年出生的匈牙利裔美籍數學家，1949年在紐約大學獲得博士學位，之后一直留校任教。Lax在學術上成就卓越，先后榮獲美國國家科學獎章（1986）、Wolf數學獎（1987）、Abel獎（2005）以及俄羅斯的 Lomonosov金質獎章（2013）。Lax是美國科學院院士，挪威文理學院院士，美國數學會會士。2005年，Springer出版了Lax的兩卷本《論文選集》。在通俗寫作方面，Lax先后三次榮獲美國數學協會的寫作獎，附錄收入的《激波的形成與衰減》曾兩次獲獎，另一篇獲獎作品是1965年發表于《美國數學月刊》第72卷的文章《偏微分方程的數值解》。這些主題都滲透到本書中，見第八章和第九章。Lax著述豐富，其教材尤其受師生喜愛，除了我們的微積分譯著，被譯成中文的，還有《微積分及其計算與應用》（即《微積分及其應用》之前身）、《線性代數及其應用》和《泛函分析》。其中，后兩本基于其研究生課程講義，線性代數與泛函分析都是Lax最喜歡講授的研究生課程；而另一門則是偏微分方程（見本書第九章，這個主題在普通的多元微積分教材中并不多見），其講義《雙曲偏微分方程》（2006）尚未有中譯本。

在他為接受Abel獎所寫的自傳（見Helge Holden 和Ragni Piene 主編的The Abel Prize 2003–2007 The First Five Years一書第187頁）中，Lax分享了他對數學的看法：

Mathematics is sometimes compared to music; I find a comparison with painting better. In painting there is a creative tension between depicting the shapes, colors and textures of natural objects, and making a beautiful pattern on a flat canvas. Similarly, in mathematics there is a creative tension between analyzing the laws of nature, and making beautiful logical patterns.

我的翻譯（也見《當代大數學家畫傳》關于Lax的篇目）如下：

數學有時被拿來與音樂比較，但我覺得與繪畫比較更恰當。在繪畫時，在描述自然對象的形狀、顏色、紋理與在帆布上勾勒出一幅漂亮的圖案之間存在創造性張力。類似地，在數學中，在分析自然定律與構造優美的邏輯模式之間也存在創造性張力。

在《當代大數學家畫傳》中，Lax 進一步補充說：

我所做的大部分工作都源于物理學建議的一些問題，例如聲波的傳播，它們被散射的方式，流體中激波的形成與傳播。不論何種問題，其數學必須要優美。這些問題中有許多都引出了純數學中的有趣問題。

Lax在純數數學與應用數學之間游刃有余，研究和教學都出類拔萃，乃世所罕有的數學大師。

Lax 一共培養了55名博士，其中有4位華裔，而現任職于牛津大學數學所的陳貴強教授則是Lax的博士后（1987—1989）。

本書的另一位作者Maria Terrell是康奈爾大學數學系的退休教授，研究領域是幾何與數學教育。

本書共12位譯者，分別是：

林開亮（第一、五章），西北農林科技大學理學院；

吳艷霞（第一章），山東財經大學數學與數量經濟學院；

張雅軒（第二章），中國民航大學理學院；

崔曉娜（第三章），河南師范大學數學與信息科學學院；

姚少魁（第三章），北京市第八十中學國際部；

陳敏茹（第四章），河南大學數學與統計學院；

王 兢（第五、六章），中央民族大學理學院；

任文輝（第六章），內蒙古工業大學理學院；

崔繼峰（第六章），內蒙古工業大學理學院；

邵紅亮（第七章），重慶大學數學與統計學院；

劉 帥（第八章），西北農林科技大學理學院；

鄭霽光（第九章），復旦發展研究院金融研究中心；

譯者大部分是我的同學（本科或研究生），有不少是我在首都師范大學排球場上的球友。我們的合作，是飽含著深情與懷念的協同作戰。特別值得一提的是，負責翻譯第三章的姚少魁、崔曉娜夫婦。在翻譯《微積分及其應用》期間，曉娜懷著第一個寶寶，在翻譯本書期間，曉娜懷著第二個寶寶。作為孕婦本來就很受累，還要伏案翻譯，其辛勞可想而知（幸虧Lax的書只有兩卷）！各位譯者年齡相仿，身處學校，承受著教學和科研的壓力，肩負著生活與工作的重擔，但仍然像擠殘剩不多的牙膏那樣，擠出一點一滴的時間，以飽滿的熱情和專業的精神，認真完成各個章節的翻譯并校訂原書。在某種意義上，我們的翻譯稱得上是一種浪漫的合作，其目標只是為了給各位讀者呈現出一本盡善盡美的《多元微積分及其應用》。我想我們已經接近這個目標了，希望各位讀者也滿意。

在個別地方我們補充了一些腳注或是對行文做了小幅度的調整，也是希望能夠幫助讀者更好地理解本書。原則上講，多元微積分的理論與一元微積分的理論平行，因此對那些讀過第一卷《微積分及其應用》的讀者來說，繼續跟進《多元微積分及其應用》是水到渠成、自然而然的選擇。通常的多元微積分教材，對曲線積分和曲面積分的講述不夠清晰，以至于學生這一塊內容往往不得要領。本書的處理（見第七章）抽繭剝絲簡潔明了，尤其值得推薦給各位讀者。如前所述，第八章關于守恒律的部分有些高深，一般讀者適當了解即可。

最后，我們想強調一點，正如書名所提示的，本書注重理論之應用——用行話來說——就是“理論聯系實際”，希望讀者能消化書中各個例題并輔以適當練習以吸收理論，學以致用，充分領會本書的精神。毫無疑問，即便是作為已經在課堂上講過幾遍微積分的教師、在科研中運用過微積分的研究工作者，我們自己也從這兩卷書中受益匪淺。愿各位讀者亦有共鳴。

本書翻譯出版得到以下項目的資助， 國家自然科學基金No.11605142（劉帥）、No.11601044（邵紅亮）、No.11801314（吳艷霞）、內蒙古自治區自然科學基金No. 2018LH01016和內蒙古工業大學科學研究重點項目No. ZD201613（崔繼峰）以及中央高校基本科研業務費專項資金Z109021708（林開亮），特表感謝。

感謝本書作者之一的 Maria Terrell 及其夫君 Robert E. Terrell 與我們及時溝通，這使得本書的翻譯順利了許多。Maria Terrell還在其個人主頁（http://pi.math./~maria/）給出了《微積分及其應用》和本書的一個印刷錯誤清單（a list of typos）。

感謝北京市朝陽區教育研究中心的張浩博士、內蒙古大學數學科學學院的顏昭雯教授、為我們校對了部分章節的譯稿，感謝天津大學物理系的劉云朋教授為我們解答了翻譯過程中遇到的疑難（見9.3節問題9.25），感謝大連交通大學理學院的莫利同學與我們討論，最終引出了關于周期函數之和未必是周期函數的那個腳注（見9.2節）。感謝重慶大學數學與統計學院的王顯金教授為我們調整了LaTeX模板，感謝“遇見數學”的李想老師為我們補全了圖10.5（原書只有左邊的圖）。最后，我們要感謝科學出版社林鵬社長與數理分社陳玉琢編輯對我們一如既往的鼓勵支持！

譯者代表 林開亮

2019年5月5日

于西北農林科技大學理學院