斐波那契數(shù)列：

      斐波那契數(shù)列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，…

有一些奇特的性質(zhì)，引起了海內(nèi)外數(shù)學家、物理學家、生物學家、化學家、天文學家、建筑師和藝術(shù)家，甚至社會學家和市場分析師的關(guān)注。

伽利略說過：“數(shù)學是上帝書寫宇宙的字母表。” 有人把斐波那契數(shù)列稱為是“大自然的密碼”和“大自然的普遍法則”。事實果真如此嗎？我們將在三篇博文中，分別從數(shù)學、科學和美學三方面進行介紹。

數(shù)學家斐波那契

斐波那契的真名是萊昂納多·皮薩諾·比戈洛（Leonardo Pisano Bigollo，1170-1250），也被稱為比薩的萊昂納多（Leonardo of Pisa），是意大利比薩共和國的數(shù)學家。19世紀的歷史學家給予他“斐波那契（Fibonacci）”這個綽號，大致意思是“波那契家族之子”，以把這位數(shù)學家和意大利著名畫家、科學家列昂納多·達·芬奇（Leonardo da Vinci）區(qū)分開。

圖1  斐波那契像（左）和比薩的斐波那契雕像（右）

斐波那契被認為是“中世紀最有才華的西方數(shù)學家”。1202年斐波那契出版的巨著《Liber Abaci（自由阿巴奇）》（參考資料[1]），是最早描述印度——阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)和使用類似現(xiàn)代“阿拉伯數(shù)字”符號的西方書籍之一。有趣的是，書中還包含算術(shù)和幾何級數(shù)求和，聯(lián)立線性方程組，完全數(shù)問題，中國剩余定理問題等等許多數(shù)學問題的解決方案，對數(shù)學發(fā)展做出了重大貢獻。事實上，今天常用的一些數(shù)學術(shù)語最初是在《Liber Abaci》中引入的。例如，斐波那契提到了“一個數(shù)的因子”或“一個乘法的因子”，“分子”和“分母”等等。該書被認為是13世紀數(shù)學百科全書。它數(shù)學嚴謹，應用性強，描述生動，展示了如何將數(shù)學工具應用于商業(yè)和貿(mào)易中——度量和貨幣的轉(zhuǎn)換、利潤的分配、利息的計算、貨幣的合金化等等。

這本書是歐洲第一本解釋今天稱為“斐波那契數(shù)列”的書。但是，不是斐波那契第一個發(fā)現(xiàn)這個序列的，因為之前，印度數(shù)學家就已經(jīng)知道了——它早出現(xiàn)在使用印度教阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)的古代梵文文獻中，該文獻比比薩的萊昂納多早了幾個世紀。

在《Liber abaci》書中的一個地方，斐波那契討論了兔子繁殖問題，把現(xiàn)在被稱為“斐波那契數(shù)列”的數(shù)列介紹給西方世界。但是，在書中只有一段關(guān)于繁殖兔子的短文，之后他再也沒有提到這個數(shù)列。

直到19世紀，數(shù)學家們對該數(shù)列的性質(zhì)進行了更多的研究。1877年，法國數(shù)學家愛德華·盧卡斯（édouard Lucas，1842-1891）正式將兔子問題命名為“斐波那契數(shù)列”。有趣的是，盧卡斯思考過序列的開始，想知道如果序列是從1和3開始，而不是從1和1開始，會發(fā)生什么。這個新數(shù)列（遵循相同的加法規(guī)則，也稱為“盧卡斯數(shù)列”）是：1，3，4，7，11，18，29，47，76，123…，然后盧卡斯將它與斐波那契序列進行了比較。

兔子問題

兔子問題是一個假想的繁殖過程：兔子永遠不會死，每個月每對成兔（成熟的兔子）都會產(chǎn)一對幼兔（在下個月成熟）。在著作《Liber abaci》中，斐波那契說：讓我們想象一對兔子（雌雄）。假設它們不能在出生后的第一個月繁殖。第二個月后，成熟的雌性產(chǎn)下一對新的幼兔。每一對都以同樣的方式繁殖。問題是：一年后兔子對的數(shù)量是多少？

從虛構(gòu)的一對幼兔（一只雌幼兔和一只雄幼兔）開始，第一個月兔子的總數(shù)是1對。第二個月，這對幼兔成長為成兔，月底，他們交配，但兔子仍然總數(shù)是1對。第三個月，月底雌兔產(chǎn)下了一對新的兔子，現(xiàn)在兔子總數(shù)是2對。第四個月，月底原來的雌性生產(chǎn)第二對（也是雌雄各一只），兔子總數(shù)3對。第五個月，月底原來的雌性又產(chǎn)下了一對新的，兩個月前出生的雌性也產(chǎn)下了第一對幼兔，兔子總數(shù)共5對。…這個過程可以用下圖表示：

圖2 兔子繁殖

遞歸公式

如果用B(n)表示第n個月所生的幼兔，用A(n)表示第n個月成兔的數(shù)目，用F(n)表示第n個月兔子總數(shù)，容易看出:第n個月的成兔數(shù)目，是上個月兔子總數(shù); 第n個月的幼兔數(shù)目，是上個月成兔的數(shù)目，也就是上上個月的兔子總數(shù)。即：

A(n)=F(n-1)

B(n)=A(n-1)=F（n-2）

因此，第n個月的兔子總數(shù)（成兔+幼兔）是前兩個月兔子總數(shù)的總和：

F(n)=A(n)+B(n)=F(n-1)+F(n-2)

表1表示從一對幼兔開始的序列正是斐波那契數(shù)列。從中我們可以看出，十二個月后會有144對兔子。注意，表中總數(shù)F(n)、成兔A(n)和幼兔B(n) 三列，分別從第1個月、第2個月和第3個月開始呈現(xiàn)斐波那契數(shù)列模式。

表1 兔子繁殖過程

在

在計算機程序設計書籍中，優(yōu)美的遞歸公式：

F(n)= F(n-1)+F(n-2)

經(jīng)常被用于介紹遞歸編程的示例。例如，圖3 Python程序包含遞歸計算斐波那契數(shù)列第n項的函數(shù)（只是用于演示目的，這個程序還可以進行多方面優(yōu)化）。

圖3 計算斐波那契數(shù)列第n項的Python程序示例

楊輝三角形

在數(shù)學中，楊輝三角形是出現(xiàn)在概率論、組合學和代數(shù)中的二項式系數(shù)的三角形數(shù)組。在西方世界的大部分地區(qū)，它是以法國數(shù)學家布萊斯·帕斯卡的名字命名的，盡管中國以及印度、波斯、德國和意大利的數(shù)學家早在他之前幾個世紀就研究過它。

斐波那契數(shù)列與楊輝三角形（即，帕斯卡三角形）有關(guān)聯(lián)：楊輝三角形中的對角線之和，是斐波那契數(shù)，如圖4所示。

圖4 楊輝三角形沿對角線求和得到斐波那契數(shù)列

黃金分割比

斐波那契數(shù)列與黃金分割比緊密相連。斐波那契數(shù)列中的數(shù)字之比，當數(shù)列趨于無窮大時，無限接近黃金分割比，即1.618033987498948482…。由此還可以計算出所謂的黃金螺線，或者一個對數(shù)螺線，其增長因子等于黃金分割比。

如果我們?nèi)§巢瞧鯏?shù)列（1，1，2，3，5，8，13，…）中連續(xù)的兩個數(shù)的比值（將每個數(shù)除以前面的數(shù)），我們將得到以下數(shù)列：

1/1 = 1,   2/1 = 2,   3/2 = 1.5,   5/3 = 1.666...,   8/5 = 1.6,   13/8 = 1.625,   21/13 = 1.61538...

圖5是分別是計算數(shù)列{f(n+1)/f(n)}和{f(n)/f(n+1)}的前15項的結(jié)果。可以看出，當n較大時，f(n+1)/f(n)和f(n)/f(n+1)分別是1.618…和0.618…，逐漸接近φ和φ。

如果F_i 表示第i個斐波那契數(shù)（i=1,2,3,…），則有：和。                                  

也就是說，連續(xù)兩個斐波那契數(shù)之比的極限是黃金分割比，或者說，連續(xù)兩個斐波那契數(shù)之比是黃金分割比（無理數(shù)）的有理形式。

圖5 連續(xù)兩個斐波那契數(shù)之比

黃金分割比在英文文獻中有各種不同的名稱，比如，golden section（黃金分割）, golden mean（黃金均值）, golden number（黃金分割數(shù)）, divine proportion（神圣比例）, divine section（神圣分割） 和 golden proportion（黃金比例）等，在本博文中，統(tǒng)一稱黃金分割比。公元前300年，歐幾里德把它描述為“極端和平均的比例（extreme and mean ratio）”。早在文藝復興時期（15世紀到16世紀），藝術(shù)家知道它是神圣的比例。“黃金分割比”一詞直到19世紀才出現(xiàn)。數(shù)學家馬克·巴爾（Mark Barr）建議使用希臘雕刻家菲迪亞斯（Phidias）的名字的第一個字母來表示黃金分割比。通常使用小寫形式φ。 有時，大寫形式Φ用于φ的倒數(shù)1 /φ，也稱為黃金分割比。

黃金分割比φ滿足：，即

一方面，從二次方程容易推出：

可以進一步得到：

另一方面，還可以得到有趣的公式：

以及

黃金矩形

斐波那契數(shù)列（1，1，2，3，5，8，13，21，…）可以用圖形表示。我們首先畫一個邊長為1個單位的小正方形，再畫第二個邊長為1個單位的小正方形，一條邊接觸并對準，組成一個矩形（長寬之比1:2）。然后畫邊長為2個單位（2=1+1）的小正方形，一條邊與前面的兩個小正方形組成的矩形一個長邊接觸并對準，與已經(jīng)畫的正方形組成一個新的矩形（長寬之比2:3），再畫邊長為3個單位（3=1+2）的小正方形，一條邊與前面矩形的一個長邊接觸并對準，組成更大些矩形（長寬之比3:5）。接著畫邊長為5個單位（3=1+2）的小正方形，一條邊與前面矩形的一個長邊接觸并對準，組成更大些矩形（長寬之比5:8）…。以此類推，每畫一個新的正方形（邊長都是斐波那契數(shù)列的數(shù)），與已經(jīng)畫的正方形組成的矩形，長寬之比都是兩個連續(xù)斐波那契數(shù)之比，我們稱之為斐波那契矩形。而長寬之比為黃金分割比的矩形，黃金矩形。圖6是平鋪平面的一個例子。

圖6 使用邊長為連續(xù)斐波那契數(shù)的正方形的平鋪。

如果我們把組成較小矩形的平方和表示出來，我們得到這個模式：

這個規(guī)它告訴我們，斐波那契數(shù)的平方和，等于斐波那契數(shù)列中最后一個數(shù)和下一個數(shù)的乘積。如果F_i 表示第i個斐波那契數(shù)（i=1,2,3,…），則有：

黃金螺旋

斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線。黃金分割比用螺旋形的貝殼表示。在圖7中，殼的生長區(qū)域以正方形繪制。如果兩個最小的正方形的寬度和高度為1，則其下側(cè)的正方形的邊為2。其他正方形的邊是3、5和8。像圖8這樣的斐波那契螺旋，事實上與圖7中的正方形使用相同的平鋪的趨勢。斐波那契螺線以φ或黃金分割比為基礎，螺線在轉(zhuǎn)了四分之一圈后，它變寬了一個因子φ。

這種螺線在自然界和藝術(shù)中都能被發(fā)現(xiàn)。螺旋形是由一種稱為自相似或縮放的生長特性產(chǎn)生的，這種特性是指尺寸增大但形狀保持不變的趨勢。

圖7 斐波那契螺線

黃金三角形

圖8(A)是特殊的等腰三角形，或稱黃金三角形，AB=φ·BC。圖8(B)有兩條不相交對角線的規(guī)則五邊形， d₅=φ·s₅。圖8(C)五角星，用了不同的顏色來區(qū)分不同長度的線段。四個長度——定義在邊緣的交叉處——彼此成黃金比例。紅色是綠色的1.618倍；綠色是藍色的1.618倍；藍色是品紅的1.618倍。此外，較短線段的長度與由兩條相交邊（五角星中心五邊形的一條邊）限定的線段的長度之比為φ，如四色插圖所示。五角星包括10個等腰三角形：五個銳角和五個鈍角等腰三角形。黃金三角形有2種：第一種是等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°，三角形的一腰與底之長之比為黃金分割比φ。圖8(D)通過連接正十邊形相對的頂點，劃分出10個黃金三角形。

圖8 黃金三角形

斐波那契數(shù)若干關(guān)系式

如果F_i 表示第i個斐波那契數(shù)（i=1,2,3,…）按照斐波那契數(shù)的定義：

我們可以有如下一般公式（頭三個公式在前面見過）：

上述最后一個公式是計算第n個斐波那契數(shù)的Binet公式。

此外，

（1）任意十個連續(xù)斐波那契數(shù)之和可被11整除：例如，

13+ 21 + 34 + 55+ 89 + 144 + 233+ 377 + 610 + 987 = 2,563

正好可以被11整除，因為

11×233 == 2,563.

（2）連續(xù)斐波那契數(shù)是相對素數(shù)：也就是說，它們的最大公約數(shù)是1。

（3）處于復合數(shù)位置的斐波那契數(shù)（第四個斐波那契數(shù)除外）也是復合數(shù)。另一種說法是，如果n不是素數(shù)，那么Fn就不是素數(shù)（n=4除外，因為F4=3，是一個素數(shù)）。

（4）如果p可被q整除，那么Fp可被Fq整除。例如，p=6可被q=3整除，則F_p=8可被F_q=2整除。

還有許多這樣的關(guān)系式，真是令人難以置信。加上斐波那契數(shù)列在自然界許多地方出現(xiàn)，及其在許多領(lǐng)域的廣泛應用，引起幾代數(shù)學家對它感興趣也就不足為奇。

結(jié)語

雖然斐波那契數(shù)列不是斐波那契首先發(fā)現(xiàn)的，但斐波那契編的《Liber Abaci（自由阿巴奇）》，通過編譯和集成印度、阿拉伯和中國文獻中的數(shù)學成果，對數(shù)學發(fā)展做出過重大貢獻，并幫助歐洲走出中世紀迷信，發(fā)展成為世界科學中心。

雖然真實的兔子繁殖不是真正按照斐波那契數(shù)列模式，斐波那契數(shù)列有一些驚人的特性，使得它成為靈活的數(shù)學工具，描述從宏觀（如，銀河系）到微觀（如，量子世界）的許多自然現(xiàn)象。

近年來斐波那契數(shù)列和黃金分割比在物理學、量子力學、密碼學和拓撲量子計算等領(lǐng)域，引起了人們的極大興趣。

對這些，我們在下一篇博文中將進一步討論。

附錄

黃金比率φ已經(jīng)計算得出的精度為小數(shù)點后面2萬億（2×10¹² = 2,000,000,000,000）個數(shù)字。如下是小數(shù)點后面一千位的φ：

φ=1. 6180339887498948482045868343656381177203091798057628621 35448622705260462818902449707207204189391137484754088075 38689175212663386222353693179318006076672635443338908659 59395829056383226613199282902678806752087668925017116962 07032221043216269548626296313614438149758701220340805887 95445474924618569536486444924104432077134494704956584678 85098743394422125448770664780915884607499887124007652170 57517978834166256249407589069704000281210427621771117778 05315317141011704666599146697987317613560067087480710131 79523689427521948435305678300228785699782977834784587822 89110976250030269615617002504643382437764861028383126833 03724292675263116533924731671112115881863851331620384005 22216579128667529465490681131715993432359734949850904094 76213222981017261070596116456299098162905552085247903524 06020172799747175342777592778625619432082750513121815628 55122248093947123414517022373580577278616008688382952304 59264787801788992199027077690389532196819861514378031499 741106926088674296226757560523172777520353613936…

參考資料：

[1] Fibonacci's Liber Abaci. Springer. 2002

[2] Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Fabulous Fibonacci Numbers. Prometheus Books.2007