【原】偏微分方程在物理學(xué)中的完美應(yīng)用——熱方程，推導(dǎo)和示例

老胡說(shuō)科學(xué) 2021-05-10

展開(kāi)全文

偏微分方程是一個(gè)將具有一個(gè)以上變量的函數(shù)與其偏導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)的方程。為了引入偏微分方程，我們要解決一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題：模擬薄金屬棒內(nèi)的溫度作為位置和時(shí)間的函數(shù)。在此過(guò)程中，我們將從物理原理推導(dǎo)出一維熱方程，并求解一些簡(jiǎn)單的條件：

在這個(gè)方程中，溫度T是位置x和時(shí)間T的函數(shù)，k、ρ和c分別是金屬的熱導(dǎo)率、密度和比熱容，k/ρc稱為擴(kuò)散系數(shù)。

物理過(guò)程

我們想要研究，隨著時(shí)間的增加，熱量如何在長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒中傳導(dǎo)的。金屬棒的一端在x=0處，另一端在x=L處。金屬棒的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于它的截面半徑，所以我們可以把熱傳導(dǎo)看成是x和t的函數(shù)。假設(shè)金屬棒的比熱容是已知的，如果我們能找到溫度T（x, t）的函數(shù)，我們就能知道熱量是如何擴(kuò)散的。

假設(shè)棒沿其長(zhǎng)度方向是絕熱的，因此它只能通過(guò)兩端吸收或散發(fā)熱量。這意味著溫度分布只取決于以下三個(gè)因素：

初始溫度分布情況T（x,0）。這叫做初始條件。
金屬棒兩端的溫度，T（0, t）和T（L, t）這些叫做邊界條件。
熱量在金屬棒內(nèi)由一點(diǎn)傳遞到另一點(diǎn)的規(guī)律。熱方程是這種物理定律的數(shù)學(xué)表示。

對(duì)于一組特定的初始和邊界條件，求解偏微分方程的問(wèn)題被稱為初始邊值問(wèn)題（IBVP）。

在本文中，我們將求解的熱方程的初始邊值為T（0，t）=T（L，t）=0°C。這些叫做齊次邊界條件。

熱方程的推導(dǎo)

熱方程可以從能量守恒導(dǎo)出：金屬桿上某一點(diǎn)儲(chǔ)存的熱量的時(shí)間變化率等于進(jìn)入該點(diǎn)的凈熱量流量。這個(gè)過(guò)程顯然符合連續(xù)性方程。如果Q是各點(diǎn)處的熱量，V是熱量流動(dòng)的矢量場(chǎng)，則：

根據(jù)熱力學(xué)第二定律，如果兩個(gè)相同的物體進(jìn)行熱接觸，其中一個(gè)比另一個(gè)熱，那么熱量必然以與溫度差成比例的速度從較熱的物體流向較冷的物體。因此，V與溫度的負(fù)梯度成正比，所以V=-k?T，其中k為金屬的導(dǎo)熱系數(shù)。在一維中，它簡(jiǎn)化為V=(-k?T/?x)x，其中x是+x方向的單位向量。Q=ρcT，代入V和Q的表達(dá)式，得到熱方程：

解熱方程

在我們進(jìn)一步討論之前，我們需要證明對(duì)于任何有物理意義的初始和邊界條件，熱方程必須存在一個(gè)唯一的解。對(duì)此的正式證明超出了本文的范圍，因此我們將使用一個(gè)經(jīng)驗(yàn)論證。

熱力學(xué)定律告訴我們，無(wú)論一開(kāi)始金屬棒的溫度分布是怎樣的，系統(tǒng)必須經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程，使金屬棒達(dá)到熱平衡，我們?cè)谇懊嬷v過(guò)這個(gè)過(guò)程必須服從熱方程，因此，對(duì)于有物理意義的初始和邊界條件，熱方程的解是存在的。此外，經(jīng)典物理學(xué)的基本假設(shè)之一是，相同的實(shí)驗(yàn)條件必然會(huì)導(dǎo)致相同的結(jié)果，因此，金屬棒進(jìn)入熱平衡的特定方式，由初始條件和邊界條件所唯一規(guī)定。

這意味著，對(duì)于熱方程，如果f（x，t）和g（x，t）是兩個(gè)不同的函數(shù)且滿足相同的IBVP，那么f和g有相同的形式。此外，熱方程是線性的，因此如果f和g是解，α和β是任何實(shí)數(shù)，那么αf+βg也是一個(gè)解。所以我們可以得出結(jié)論，解是相同形式的函數(shù)的線性組合。

考慮下面的函數(shù)，我們可以通過(guò)試錯(cuò)來(lái)推測(cè)：

其中n是大于0的正整數(shù)。該函數(shù)滿足熱方程：

這個(gè)函數(shù)也滿足邊界條件，因?yàn)閟in（0）=sin（nπ）=0。因此通解為：

如果我們能找到系數(shù)A_n，使這個(gè)通解滿足初始條件，問(wèn)題就解決了。也就是說(shuō)，我們需要找到一個(gè)A_n，這樣：

這叫做初始條件下的傅里葉正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式。系數(shù)A_n叫做傅里葉系數(shù)。

計(jì)算傅里葉系數(shù)

初始條件T（x，0）是區(qū)間[0，L]上的分段連續(xù)函數(shù)，且在邊界處為零。結(jié)果證明具有這些性質(zhì)的函數(shù)集合是加法和標(biāo)量乘法下的向量空間。我們稱這個(gè)向量空間為：

這個(gè)向量空間有一個(gè)內(nèi)積。對(duì)于f，g∈???（加法和標(biāo)量乘法下的向量空間），一個(gè)可能的內(nèi)積為：

我們可以通過(guò)使用單位向量的點(diǎn)積將其投影到軸上來(lái)找到幾何向量的分量，單位向量構(gòu)成了??的基。同樣，如果我們能為???找到一個(gè)基，那么我們可以將任何f∈???投影到基函數(shù)上，以便將f表示為基函數(shù)的線性組合。

求v的分量

對(duì)于整數(shù)m，n>0，函數(shù)sin（nπx/L）是標(biāo)準(zhǔn)正交的：

因此，我們可以將任意函數(shù)f∈???表示為基集中函數(shù)的線性組合：

線性組合的系數(shù)由歐拉積分給出：

作為演示，讓我們找到一個(gè)單位鋸齒脈沖的傅立葉系數(shù)：

顯然，saw(x)∈??1，因此：

傅里葉系數(shù)為：

因此，鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為：

下面的動(dòng)畫展示了，隨著sin項(xiàng)的增加，傅里葉級(jí)數(shù)如何接近鋸齒狀（波形）的。

x=1附近的誤差稱為吉布斯現(xiàn)象。吉布斯現(xiàn)象是一種不可避免的誤差，它使不連續(xù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)將不連續(xù)時(shí)的函數(shù)值高估約9%。吉布斯現(xiàn)象永遠(yuǎn)不能完全消除，但當(dāng)傅里葉級(jí)數(shù)中的項(xiàng)數(shù)接近無(wú)窮時(shí)，誤差收斂到完全局限于不連續(xù)點(diǎn)。例如，如果在鋸齒形的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中包含無(wú)限項(xiàng)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng) 0≤x<1 時(shí)，級(jí)數(shù)將完全等于x，而在x=1時(shí)，級(jí)數(shù)的值約為1.09。

這告訴我們，求解熱方程的齊次IBVP等于使用歐拉積分來(lái)求傅里葉系數(shù)：

例：金屬棒初始溫度是均勻的

假設(shè)一個(gè)絕熱的，一米長(zhǎng)的金屬棒擴(kuò)散系數(shù)為k/ρc=0.1m2/s（不現(xiàn)實(shí)，為了方便作圖），最初溫度為100°C，在溫度為0℃、t=0時(shí)夾緊冷卻元件。初始條件和邊界條件為：

傅里葉系數(shù)是：

讓我們來(lái)驗(yàn)證這個(gè)匹配初始和邊界條件的傅里葉級(jí)數(shù)：

所以，解是：

現(xiàn)在讓我們畫出解：

作為一個(gè)三維圖：

例：溫度“尖峰”

現(xiàn)在假設(shè)金屬棒每個(gè)地方的初始溫度都是0°C，除了中間10厘米的溫度是100°C。這次的擴(kuò)散系數(shù)是0.0075m2/s。

計(jì)算傅里葉系數(shù)最簡(jiǎn)單的方法是把它們轉(zhuǎn)換成更一般的形式：

所以解是：