傅立葉級數實在是我最痛恨的一種學問之一，來得突兀之至，一點兆頭都沒有，課本上就突然告訴我說世界上的函數啊，都可以表示成這樣一種級數。TMD，為什么？每每想到這里，就不由得怒從心頭起，惡向膽邊生，總想把數學分析課本付之一炬。在燒與忍住不燒之間徘徊掙扎了苦久，終于數學分析這門課也已經結束了，后來也就不再去翻那些比星爺還無厘頭的書了。可笑——世界上最精致最講究邏輯的一門學問，在中國變成了最沒有道理，最蠻橫，最無厘頭的學問，然后還看到好多大學的老師抱怨學生不認真學習。我真想請問，這種背結論的課我學好了干嘛？如果只是徒然背結論，那一本數學手冊豈不比花偌大時光去背這些無厘頭的東西好多了？老實說，傅立葉級數我當年也曾好好地看過幾回，可是實在是搞不明白他是怎么來的。翻遍了書店和圖書館也不見有講的。終于還是在外國人的教材上看到了原來傅立葉級數是大大的有道理的。
這本書名字叫做<patial differential equations an introduction>，就是偏微分方程導論。作者是Walter A.Strauss。
如果你也真正疑惑于傅立葉級數這樣一種玩竟兒，極力推薦看一下。我就把里面比較重要的一些點選譯在下面，希望能說得明白，當然下面的文字中只有最關鍵的文字才是書上的，其他的更多的是我自己的理解，還請各位看官多多指正。
還是從牛頓說起吧，微積分是牛頓還是萊布尼茲發明的，歷史上有很大的爭論，但是，我個人認為，即便是萊布尼茲所發明，牛頓只是拿來用一下，老牛還是很牛的。因為他寫了原理這本書，把數學分析的方法引入了物理問題的研究之中，這確實可以說是一項偉大的工作了。我沒讀過原理這本書，據說牛頓第二定律是寫成了F等于質量乘以路程的二階導數(據說牛頓那時候是把導數叫做流數的)，而不是我上高中的時候學的那個加速度a。也就是牛頓是利用二階微分方程表示牛頓第二定律的，在解方程的過程中，自然的就可以計算速度，位移等等的物理量，省去了很多描述上的麻煩，為研究更加復雜的情況提供了強有力的數學工具。在牛頓所建立起來的這種框架之下，后人們不斷發現新的規律，而新的規律也總是可以表示為各種各樣的微分方程，于是經典物理便一點點擴充起來了。從這個角度來說牛頓是近代物理之父那是一點也不錯的。
正是在建立經典物理學的過程之中，傅立葉在研究熱的傳播時，伯努利（伯努利家是數學世家，他們爺們我一個也搞不清，統稱為伯努利，總之是錯不了的）在研究波的傳播和擴散時，都得到了以下的偏微分方程（這個推導在物理課本上有，國內的諸多教材都有推導，也不是很難，不是這篇文章關注的焦點，就略提一下，不詳談了）：
(1)
當然，這個方程的第二個式子和第三個式子是偏微分方程的初值和邊值條件，現在這個被稱做是狄利克萊條件。在不同的場合下，初邊值一般是不同的，比如其他還有紐曼條件，羅賓條件等，但是方程的解法卻是大同小異。
傅立葉又是怎么解這個方程的呢。OK，接下來就來看看傅立葉是怎樣給這個方程的解加上自己的名字的。
在上面這個方程的推導過程中，傅立葉發現，這個解u其實可以表示為X(x)·T(t)，如果哪位仁兄想問為什么，只好請您再屈駕看一下物理課本了。u=X(x)T(t)代入上述方程就可以得到
（其中λ是一個常數。因為 
)
行了，現在得到兩個二階常微分方程，自己都會解了。經過一番嘗試，我們會發現，只有當λ>0時，這兩個方程的解才會有一些意義。我們就來看一看吧，現在已經假設λ=β*β>0并且β>0
那么這個常微分方程組的解就具有以下形式
其中A，B，C，D都是常數。
第二步就是把邊界條件加進來
對于C=D=0這樣的平凡解，我們當然不感興趣，所以我們還是讓βl=nπ
A和B是一些確定的常數，這些解的和仍然是一個解，所以任意的有限和是原方程的一個解
呵呵，到此為止，看到傅立葉級數了。接下的任務就是計算A和B。
幸好，我們有以下規律
于是，有以下推導
(2)
有了這個公式以后，方程（1）的解才算是完全地得到了。
接下來，人們自然會想，那么什么樣的函數才可以用傅立葉級數來表示呢？經過近一個世紀的爭論，才驚訝地知道原來所有函數都可以表示為傅立葉級數（這句話大有問題，但是像我這樣的升斗小民也就只能把所有可積函數理解為黎曼可積的了）。
這個問題的證明思路也不難，那就是用公式（2）把一個普通函數強行化為傅立葉級數，再證明這個級數收斂甚至是一致收斂就可以了。
說到這里，可以總結一下了。傅立葉研究一個物理過程，得到了一個偏微分方程，用特殊的方法去處理這個方程，發現解是三角函數的函數項級數。而它就是后來被稱做傅立葉級數的東西。進一步又發現，隨便一個函數都可以用公式（2）處理成傅立葉級數，再一研究又發現這個級數竟收斂于原來的函數。于是這個意義就大了。在通訊的時候可以說成是任何信號都可以表示成幾個三角函數的疊加（因為收斂，所以取有限和便可以很好地達到實際應用時的精度要求），而三角函數的信號是最容易產生的。這在很長的一段時間內都是通訊的基礎。
整個推導過程其實是很細致的，我能寫下以上文字已是很吃力了，中間有很多模糊的地方，現在看來也只好這樣了。
