傅里葉級數推導

一、傅里葉級數說明

• 1.傅里葉級數
  傅里葉級數是一種用正弦和余弦函數表示周期性函數的方法

系數 可以通過函數f(t)在一個周期內的積分來計算。 需要滿足狄利克雷條件條件： （1）在一周期內，連續或只有有限個第一類間斷點； （2）在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個； （3）在一周期內，信號是絕對可積的。

• 2.爭議性 數學、物理學里很多定理都是通過公式推導得來的，而傅里葉級數原理確實傅里葉假想出來的（傅里葉在做熱傳導計算時提出），這個定理特殊處在于它無法正向去推導，而是先提出定理再去證明和應用。 大概時間線是這樣的： 傅里葉任命助教，協助拉格朗日進行數學教學工作； 傅里葉在《熱的傳播》中提出：任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成； 拉普拉斯等人贊同此文章，但拉格朗日強烈反對； 傅里葉發表《熱的解析理論》，提出傅里葉級數； 狄利克雷傅里葉級數收斂的充分條件，即狄利克雷條件；

自始至終，拉格朗日認為正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號，而傅里葉級數表明可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別。

• 3.關于本文 本文主要是求解相關系數，并不能正向證明如何得到傅里葉級數，畢竟大佬們爭議如此久的話題豈是我等能考慮的。

二、提前準備

• 1.泰勒級數
  任意一個函數都可以用一個多項式來逼近：

• 2.麥克勞林待定系數法
  在泰勒級數基礎上，依次對等式左右兩邊求n階導數，然后令x=0，即可求得系數A、B、C...

...

...

• 3.三角函數的正交性
  一個三角函數系：1，cosx , sinx , cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , … 這一堆函數（包括常數1）中任何兩個不同函數的乘積在區間[-π, π]上的積分等于零。 舉例證明：

當k不等于n時：

注意第3個式子中k是可以和n想等的！

推導①：

推導②：

其他公式同理。

• 4.常數定積分原理

三、傅里葉級數解推導

• 1.神奇的三角函數 由于物體的振動可以用三角函數來表示：

其中分別表示振幅、角頻率、初相位。

• 2.傅里葉猜想 傅里葉引入猜想：任意周期函數都可以表示成許多的三角函數線性疊加（猜想來源貌似是解熱方程和振動方程），即：

其中、、、都是常數，即對任意周期函數f(t)而言，可以分解乘很多個三角函數線性疊加，這些三角函數有一個基準角頻率（n=1），其他的三角函數角頻率依次是的整數（也就是我們現在熟知的諧波）
根據三角函數展開，得到：

令

故

由于此時的這個公式只是猜想的，方程中只有f(t)是已知的，而、、是未知的，想要公式成立，只需要

證明、、可以由已知的f(t)來表示

• 3.傅里葉級數證明
  對兩邊進行的積分：

根據三角函數的正交性，得到：

根據常數定積分原理，得到：

故：

對兩邊乘以（其中k=n）：

展開累加項得到：

兩邊進行的積分：

根據三角函數的正交性，得到：

故：

同理對兩邊乘以（其中k=n）, 然后兩邊進行的積分，得到：

綜上：

其中：