【原】從三角函數開始Ⅱ——傅里葉變換

2 傅里葉變換

積分變換是求解數學物理問題的重要工具。所謂積分變換就是把函數經過積分運算變換為另一類函數，一般表示為

其中，是一個參變量，是一個確定的二元函數，稱為積分變換的核。傅里葉變換就是一種積分變換。

2.1 傅里葉變換的定義

上一章中我們將傅里葉級數推廣為了傅里葉積分，而傅里葉積分又可以進一步擴展為傅里葉變換。這一擴展使得頻譜范圍由變成了。

考慮一個定義在區間上的函數。利用本系列上一篇文章的公式可以寫出其傅里葉積分

上式中后一個積分可以改寫

將結果代入式(2)，得

我們得到

為了讓式子具有對稱美，也可以寫成

式(5)為傅里葉變換，記為；式(6)為傅里葉逆變換，記為。

2.2 傅里葉變換的性質

本節將給出一些傅里葉變換的性質。

2.2.1 線性變換

傅里葉變換是一種線性變換，即

這是一件非常直觀的事情。我們前面的推導過程中涉及的運算均是線性的，因此得到了一種線性運算是意料之中的事情。

2.2.2 微分定理Ⅰ

本定理的證明可借助分部積分。

2.2.3 微分定理Ⅱ

以上兩個微分定理其實說的是同一件事，注意到傅里葉變換與傅里葉逆變換表達式間的高度對稱性便可理解這點。

2.2.5 位移定理

2.2.6 卷積定理

設函數和均定義在上，則它們的卷積定義為

則有

2.2.7 函數的傅里葉變換

2.2.8 高斯函數的傅里葉變換

高斯函數的傅里葉變換為

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