1900年，巴黎舉辦了一場(chǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的未來(lái)影響巨大的活動(dòng)——第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)。在這場(chǎng)大會(huì)中，著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特列舉了23個(gè)塑造了未來(lái)數(shù)學(xué)發(fā)展的未解難題，其中第8問(wèn)與下圖所示的內(nèi)容有關(guān)： 1998年，沿襲了希爾伯特23問(wèn)，菲爾茲獎(jiǎng)得主斯蒂芬·斯梅爾列出了21世紀(jì)的18道數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中第一問(wèn)便是黎曼猜想。到了2000年，克雷數(shù)學(xué)研究所公布了七個(gè)千禧年大獎(jiǎng)難題，其中也包括黎曼猜想。這彎彎繞繞的曲線或許是數(shù)學(xué)中最具有魅力、卻也最令人沮喪的曲線之一。這是因?yàn)檫@張圖的背后隱藏的正是困擾了數(shù)學(xué)家一個(gè)多世紀(jì)之久的難題：黎曼猜想。
雖然許多領(lǐng)域都假定黎曼猜想是成立的，但對(duì)于數(shù)學(xué)家而言，真正的證明還遠(yuǎn)未出現(xiàn)。希爾伯特曾說(shuō)：“如果我在沉睡了千年后醒來(lái)，我的第一個(gè)問(wèn)題便是：黎曼猜想被證明了嗎？”
那么，什么是黎曼猜想？我們的故事要從素?cái)?shù)開(kāi)始。
在數(shù)論中，素?cái)?shù)是指那些除了1和自身以外無(wú)法被其他正整數(shù)整除的數(shù)，比如2、3、5、7、11、13......素?cái)?shù)常被視作為整數(shù)中的“原子”，正如可以構(gòu)成萬(wàn)物的原子那樣，素?cái)?shù)就像是最基本的積木，可以構(gòu)建任何一個(gè)數(shù)字。
任何不是素?cái)?shù)的數(shù)都可以寫(xiě)成素?cái)?shù)的乘積。在這個(gè)例子中，2、3、7是素?cái)?shù)，它們無(wú)法被進(jìn)一步分解。早在公元前3世紀(jì)，歐幾里得就證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。然而，歐幾里得并沒(méi)能告訴我們有關(guān)于素?cái)?shù)的模式和分布的任何信息。它們似乎是完全隨機(jī)出現(xiàn)的——有時(shí)，兩個(gè)連續(xù)素?cái)?shù)之間存在巨大的間隙；有時(shí)，兩個(gè)素?cái)?shù)緊挨著，中間只隔著一個(gè)數(shù)字，即孿生素?cái)?shù)。
孿生素?cái)?shù)是指相差2的素?cái)?shù)對(duì)。素?cái)?shù)在自然數(shù)中的出現(xiàn)真的是隨機(jī)的嗎？亦或是有跡可循？18世紀(jì)末，年僅15歲（或16歲）的高斯（Carl Friedrich Gauss）開(kāi)始研究素?cái)?shù)的分布。他繪制了大量從1到3,000,000之間的素?cái)?shù)表，試圖找尋其中的規(guī)律。在下圖中，所有的整數(shù)都沿著x軸分布，每當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)素?cái)?shù)，那么在y軸的方向上素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)（藍(lán)色）就會(huì)增加1：
素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)：每當(dāng)x軸上出現(xiàn)的整數(shù)是素?cái)?shù)時(shí)，素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)就會(huì)增加1。隨著數(shù)字變大，呈現(xiàn)在眼前的那些起伏會(huì)愈加趨于平緩，留下了一條看似平滑的曲線。當(dāng)高斯看到這樣一條曲線時(shí)，他想，是否有其他函數(shù)也能產(chǎn)生類似的曲線？他注意到，函數(shù)x/log(x)的形狀與素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)看起來(lái)非常相似。
數(shù)函數(shù)就會(huì)增加1。高斯注意到函數(shù)x/log(x)的形狀與素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)相似。依賴大量通過(guò)計(jì)算獲得的“實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)”，高斯提出了一個(gè)猜想：小于x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)約等于x/log(x)。他預(yù)測(cè)當(dāng)x趨近于無(wú)窮大時(shí)，這個(gè)近似的相對(duì)誤差也趨近于零。
在高斯提出他的猜想之后，他的學(xué)生黎曼（Bernhard Riemann）登場(chǎng)了。但為了更好地理解黎曼所做的事，讓我們先講另一則故事。故事的主人公是出生于18世紀(jì)初的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonard Euler）。歐拉是史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他的工作涵蓋了數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域，書(shū)寫(xiě)了許多影響深遠(yuǎn)的教科書(shū)，且引進(jìn)了許多數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和書(shū)寫(xiě)格式。與歐拉同時(shí)代的許多數(shù)學(xué)家，都曾想要理解無(wú)窮級(jí)數(shù)的一些性質(zhì)。當(dāng)把一些無(wú)窮級(jí)數(shù)中的數(shù)字加起來(lái)時(shí)，有時(shí)得到的總和是一個(gè)有限的數(shù)，這個(gè)數(shù)就被稱為極限。比如無(wú)窮序列1, 1/2, 1/4, 1/8…的和的極限是2。這種存在極限的級(jí)數(shù)被稱為是收斂的。
無(wú)窮級(jí)數(shù)1+1/2+1/4+1/8…的極限是2，是收斂級(jí)數(shù)。但我們并不總是能得到一個(gè)有限的數(shù)。比如1+1+1+1+1……，最終得到的和會(huì)比任何有限數(shù)都大。因此我們說(shuō)，這個(gè)級(jí)數(shù)是離散的。
無(wú)窮級(jí)數(shù)1+1+1+1…的極限不是一個(gè)有限的數(shù)，是離散級(jí)數(shù)。有時(shí)，要判斷一個(gè)給定級(jí)數(shù)收斂與否并非一件直觀的事，比如下圖所示被稱為調(diào)和級(jí)數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，雖然看起來(lái)它隨著x的增大而越變?cè)叫。珜?shí)際上它是離散的。
判斷一個(gè)級(jí)數(shù)收斂與否有時(shí)并不容易，比如看上去是收斂的調(diào)和級(jí)數(shù)實(shí)際是離散的。 接下來(lái)，我們來(lái)看看這個(gè)級(jí)數(shù)：
一個(gè)難以計(jì)算其極限的收斂級(jí)數(shù)。要證明這個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的其實(shí)并不難，難點(diǎn)在于它的確切極限是多少。歐拉找到了這個(gè)級(jí)數(shù)的和的極限，他證明了這個(gè)極限是：π2/6。
歐拉證明了其極限為π2/6.接著，歐拉繼續(xù)找到了其他相似級(jí)數(shù)的極限： 歐拉證明了一系列相似級(jí)數(shù)的極限，并將它們都表示為π的形式。它們都無(wú)一例外的可以被表示成π的某種形式。那么，這種形式的級(jí)數(shù)有著什么共同的規(guī)律嗎？我們可將這類函數(shù)定義為ζ(s)函數(shù)，s代表函數(shù)中的指數(shù)變量，ζ(2)指的就是級(jí)數(shù)的平方和，ζ(4)是級(jí)數(shù)的四次方和，以此類推。歐拉證明了，當(dāng)s>1時(shí)，ζ函數(shù)都是收斂的。
ζ，讀作zeta。除此之外，歐拉還發(fā)現(xiàn)ζ函數(shù)可被表示為如下圖所示的形式：它是無(wú)窮個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的乘積，每個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)與一個(gè)素?cái)?shù)有關(guān)，比如第一個(gè)級(jí)數(shù)與2有關(guān)，第二個(gè)級(jí)數(shù)與3有關(guān)，第三個(gè)與5有關(guān)……在每個(gè)這樣的無(wú)窮級(jí)數(shù)，都是由這一素?cái)?shù)的所有冪的倒數(shù)的s次方相加而成的，將所有的這些無(wú)窮級(jí)數(shù)的和相乘，就能得到ζ函數(shù)。 ζ(s)函數(shù)可以表現(xiàn)成無(wú)窮個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的乘積，每個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)是由一個(gè)素?cái)?shù)的倒數(shù)的所有次冪的s次方的和構(gòu)成。如此一來(lái)，ζ函數(shù)和素?cái)?shù)之間的關(guān)系就出現(xiàn)了！歐拉發(fā)現(xiàn)了這二者之間的關(guān)聯(lián)，但其中的含義直到黎曼的出現(xiàn)才被揭示。黎曼是一位極具天賦的數(shù)學(xué)家，作出了許多偉大的數(shù)學(xué)成就。例如，他不僅發(fā)展了后來(lái)成為愛(ài)因斯坦的相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的黎曼幾何，他還是復(fù)分析領(lǐng)域的奠基人之一。在面對(duì)歐拉的ζ函數(shù)時(shí)，他想知道，如果代入ζ函數(shù)中的s是復(fù)數(shù)時(shí)會(huì)發(fā)生什么。 復(fù)數(shù)可以表示為a+bi，其中a為實(shí)部，b為虛部。圖中顯示的是復(fù)平面上的復(fù)數(shù)4+3i。他將ζ函數(shù)擴(kuò)展到了復(fù)平面，但就像歐拉一樣，黎曼發(fā)現(xiàn)ζ函數(shù)只有在s的實(shí)部大于1（a>1）時(shí)才是收斂的，他希望可以將ζ函數(shù)擴(kuò)展到復(fù)平面的其余部分。黎曼意識(shí)到，這一點(diǎn)可以通過(guò)使用復(fù)分析中的一種被稱為解析延拓的技術(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。解析延拓的關(guān)鍵在于，實(shí)際有兩個(gè)函數(shù)在同時(shí)運(yùn)作——一個(gè)是原始的ζ函數(shù)，它的運(yùn)作范圍有限（a必須大于1）；還有另一個(gè)全新的函數(shù)——黎曼ζ函數(shù)，它能擴(kuò)展歐拉所定義的定義域。當(dāng)ζ函數(shù)是收斂（a>1）時(shí)，黎曼ζ函數(shù)的取值與ζ函數(shù)相同；當(dāng)a<1時(shí)，黎曼ζ函數(shù)就是由s處的級(jí)數(shù)定義的函數(shù)的解析延拓的值。（ζ函數(shù)無(wú)法被擴(kuò)展到整個(gè)復(fù)平面，它在a=1處沒(méi)有意義。）現(xiàn)在，讓我們回顧在文首看到的那條曲線。觀察這條曲線，會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)函數(shù)的域被擴(kuò)展時(shí)，一些神奇的事情發(fā)生了。在黎曼所發(fā)現(xiàn)的新的域里，函數(shù)可以穿過(guò)原點(diǎn)。這意味著當(dāng)對(duì)函數(shù)輸入一些特定的值時(shí)，函數(shù)值為0，這些值被稱為ζ零點(diǎn)。 在擴(kuò)展了ζ函數(shù)的定義域后，函數(shù)可以穿過(guò)原點(diǎn)。有些ζ零點(diǎn)很容易解釋，比如每當(dāng)輸入的是一個(gè)負(fù)偶數(shù)時(shí)，ζ函數(shù)就等于零。但這些所謂的平凡零點(diǎn)并不是黎曼所感興趣的，他關(guān)注的是所謂的非平凡零點(diǎn)，而這些非平凡ζ零所具有的模式，正是黎曼猜想的中心主題。他發(fā)現(xiàn)，所有的非平凡零點(diǎn)，都處于一個(gè)被稱為臨界帶的區(qū)域內(nèi)，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，s的實(shí)部在0到1之間。黎曼證明了在這個(gè)臨界帶中存在無(wú)窮多個(gè)非平凡零。1859年，黎曼發(fā)表了一篇開(kāi)創(chuàng)性的論文，在這篇論文中，黎曼提出：所有非平凡零點(diǎn)都位于臨界帶中一條被稱為臨界線的直線上，也就是在復(fù)平面上s的實(shí)部等于1/2的地方。盡管黎曼未能給出證明，但從他的工作中，衍生出了兩棵數(shù)學(xué)的蒼天大樹(shù)：一個(gè)是我們?cè)谇拔奶岬降母咚共孪耄?strong>雅克·阿達(dá)馬和德·拉·瓦萊·布森于1896年獨(dú)立證明，成為了現(xiàn)在的素?cái)?shù)定理；另一棵大樹(shù)是在證明黎曼假設(shè)的途中得到的一系列深刻的結(jié)果，其中最深刻的是由皮埃爾·德萊涅在1974年證明的韋爾猜想。今天，利用計(jì)算機(jī)，數(shù)學(xué)家可以每天對(duì)超過(guò)10億個(gè)非平凡ζ零點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)。一旦計(jì)算機(jī)能夠找到哪怕一個(gè)偏離了臨界線的ζ零點(diǎn)，都能證明黎曼猜想是錯(cuò)的。但是，在計(jì)算機(jī)所檢查的數(shù)十萬(wàn)億個(gè)ζ零中，沒(méi)有一個(gè)不再臨界線上。然而這樣的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，因此這種靠蠻力計(jì)算的方法，或許永遠(yuǎn)無(wú)法解決黎曼猜想。在很大程度上，數(shù)學(xué)以外的其他領(lǐng)域的學(xué)者或許可以安心地假定黎曼猜想就是正確的，但要說(shuō)服數(shù)學(xué)家，還需要一個(gè)真正嚴(yán)格證明的數(shù)學(xué)證明。1. https://www./how-i-learned-to-love-and-fear-the-riemann-hypothesis-20210104/2. http://www./library/annual_report/ar2004/04report_sarnak.pdf3. http://www./library/annual_report/ar2004/04report_riemann.pdf4. https://www./2020/05/06/finding-prime-locations-the-continuing-challenge-to-prove-the-riemann-hypothesis/#:~:text=Considered%20by%20many%20to%20be,for%20now%20only%20a%20conjecture.
|
